非参数统计的简单应用

(广东财经大学 广东 广州 510320)

一、对于非参数统计的心得

以往的所有课程中，对于参数统计我们有着详细的方法去估计，参数估计，假设检验，大样本正态分布，计算它的一系列样本参数来推断信息。例如，我们首先假设收入是服从正态分布的，于是我们就去计算样本的期望、方差、峰度等来以此此来刻画这一数据，再通过这些收集到的数据去做推断。但是现实中的统计工作我们是不知道怎么分布情况的，不是t检验，方差分析也做不了，线性回归也不行，时间序列分析等等都不行，简单来说，我们对于分布一无所知，甚至数据是残缺的，不完整的，这时候我们就只能用非参数统计方法去处理这些处理不了的问题。常用的非参数统计方法有：符号检验，Wilcoxon秩和检验。

二、方法介绍

(一)符号检验

符号检验是最基本的非参数统计方法，获取到样本X1，…Xn之后，不知道这是不是正态分布，因而就用不了t检验。在非参数检验里，用符号检验要熟知分位点以及广义的分位点性质意义。简单的二项分布，与分位点结合就形成了符号检验。对于符号二字的理解呢，则是这样定义的：

检验原假设是H0：Qπ=q0(Qπ是针对连续变量的π分位点)

备择假设则可以是大于也可以是小于，或者是不等，随统计问题的具体而定。

假设都已经做好的，样本收集过来，记大于样本的点数为N+，小于的则记为N-，用小写的n+和n-代表对应的实现值。n=n++ n-。如果此时零假设是成立的，则应该有n-与n之比约为π，或者说n-是大约nπ。于是这样就得到了，在零假设成立的情况下，N-是服从二项分布Bin(n，π)的(要么是大于，要么是小于，于是是二项分布)。这里的符号意思N+就是样本中所有减去q0之后的，这个差值还是为正的个数，同理，负号就是差值为负值的个数。更加深入一点可以构建卡方统计量：(|n_+-n_- |-1)2/(n++n-) 。这就是符号检验，不需要知道分布，只需要计算所谓的“符号”即可了，是非参数统计中最基本的一个方法。

(二)Wilcoxon秩和检验

用于多组数据的比较，对样本数据进行统一的编秩，求出备组秩和，再以各组秩和的平方与例子推算的比值求得的总和来计算z值，类似的，在符号检验基础上更加利用信息，减去要检验的数值，得到差值，再对其取绝对值，再排序，求秩(相同的取一样的秩)，令W+为差值为正的秩和，W-为差值为负的秩和。再去计算p值或者查询临界值。比符号检验更加高明的是利用到了差值多少的信息，符号检验只区分了正负，秩和检验可以理解为对不同距离的差值赋予了不同的权数。

三、非参数估计的优点总结

1.减少模型误差是必然的，用到了更多样本中的信息，传统的参数发放就是基于分布的假定上，然而实际统计工作往往是满足不了这些分布形式的，导致传统模型与现实相背离产生模型上的偏差。而非参数估计的则是完全更多的，尽可能的去利用样本数据的信息，不需要总体分布强加条件。可以去选择与数据匹配的模型，而不是摁死了模型去让数据削足适履，具有较好的稳健性。

2.适用范围广。从数据的角度来看的话，可以处理定距、定比数据，也可以处理定类、定序数据。而实际上呢，定类和定序则是大量存在社会科学和计算机科学领域的，应用范围更加广。从模型角度来看，假定条件没有那么苛刻，适用范围更加广阔。

3.简单易操作。秩在非参数统计来说是最关键的一个东西，我们在不知道样本分布情况下，秩就是唯一我们能够依靠从样本里面提取出来的信息，从小到大排列，也非常易于理解。

四、秩和检验人口政策目标

十二大国家制定的控制人口目标是本实际末人口总量不超过12个亿，虽然已经在很早的计划生育国策下，人口还是增长，为此，我们需要做出预测趋势是否会达到人口目标。其《纲要》指出人口的自然增长率控制在12.5%以内，可以用Wilcoxon秩和检验。

注：数据来源国家统计局(人口资料).中国统计年鉴.

基于两个假设：1)总体分布连续 2)总体是对其中位数是对称的

zi=|xi-q0|,自然的，q0是目标值，对z做秩和检验。在这里以正秩和检验统计量。

H0：人口自然增长率为12.5% H1：人口自然增长率小于12.5%

检验结果，这是1978年到1989年的

差值-0.5-0.89-0.632.051.99-0.96绝对值0.50.890.632.051.990.96符号秩-1-3-21211-4差值-1.69-1.271.581.891.71.83绝对值1.691.271.581.891.71.83符号秩-7-561089

正秩和为56，当n12时候，取显著性水平为0.005时候，查表得知道临界值为17，故拒绝原假设。不认为由足够的证据证明可以控制人口自然增长率可以控制在12.5%之内，人口目标需要重新调整，人口政策需要重新规划。

五、小结

非参数统计方法与参数统计很大不同就是假定的基础不一样，或者说条件更加的宽松，参数化更加的书本化，非参数统计在实际统计工作往往用的比参数统计多太多了。但是两者的核心思想是一样的，做出检验统计量去进行检验。这是至关重要的，两者的长短处不同，应用范围也是不同的。在解决不知道总体分布情况下，对总体信息知道的不是非常明确条件下，非参数统计无疑是好过参数统计的。