探究高中数学中利用导函数解答单调性问题的技巧

◇ 广西 农 燕

从近几年高考数学全国卷来看,导数解答题主要考查导数在研究函数性质中的应用,涉及知识点有单调性、极值、最值、零点、不等式等．函数的单调性是研究其他性质的基础,能准确地讨论一个新函数的单调性是学生得分的关键,因此本文以导函数为例,探讨导函数问题的解答技巧．

1 思维导图在规范答题中的应用

导数解答题一般以考查函数单调性为基础,拓展考查其他性质．在做导数解答题时,学生常常感觉会做但是得分不高,主要原因是高考中的导数题常常含有参数,学生不知道怎样讨论参数,书写的过程中涂涂擦擦,改了又改,这些就是没有规范解题思路带来的后果．

2 分层与例题解析

我们将训练分为3个层次：

1)不含参数的函数单调性问题,这个训练的主要目的是让学生规范解题思路,为解决后面含参数的单调性问题打下基础．

2)对含参数的三次函数单调性问题进行训练．三次函数的导数是二次函数,多数高考题考查的函数在求导化简后都可归结为二次函数问题．因此熟练掌握三次函数的单调性问题是解决含参数单调性问题的本质所在．

3)高考真题训练．这就要求学生不但会而且要规范解答．会而不对,令人惋惜；对而不全,得分不高．表述不规范、字迹不工整是造成高考中因非智力因素失分的一大原因．

例1求f(x)＝x2＋1－lnx的单调区间．

解析

函数的定义域为x∈(0,＋∞),f′(x)＝．令f(x)＝0,即2x2－1＝0,解得故易知当．时,(),f′x＜0函数单调递减；当时,()f′x＞0,函数f(x)单调递增．

综上所述,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增．

解析

很多学生求解原函数单调区间时会考虑求解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0,但是教材对求解高次分式不等式不作要求,因此很多学生不能正确求解．对于含有参数的函数单调性问题,在保持以上解答步骤不变的情况下要增加对参数的讨论．

对导数f′(x)中参数a的讨论往往考虑几个方面：1)方程f′(x)＝0的根是否存在；2)比较根的大小；3)f′(x)＝0的根是否在定义域内；4)遇到导数为二次函数时,还要考虑二次函数图象的开口方向．

例2已知a∈R,讨论函数f(x)＝x2(x－a)在区间[0,2]上的单调性．

解析

f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a),f′(x)＝0,解得

当3≤a时．当x∈[0,2]时,f′(x)≤0,则f(x)在[0,2]上单调递减．

当0＜a＜3时,当时,f′(x)≤0,函数f(x)在上单调递减；当时,f′(x)≥0,函数f(x)在上单调递增．

当a＝0时,则x1＝x2,当x∈[0,2]时,f′(x)≥0,则f(x)在[0,2]上单调递增．

当a＜0时,x2＜x1≤0,当x∈[0,2]时,f′(x)≥0,则f(x)在[0,2]上单调递增．

综上所述,当a≤0时,则f(x)在区间[0,2]上单调递增；当0＜a＜3时,函数在上单调递减,在上单调递增；当a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减．

点评

学生遇到含参数问题时常常会出现考虑不全、分类讨论的标准不清楚等现象．教师在讲解时要注意两点：1)求单调区间的过程要始终贯穿数形结合的思想,因为有图象在心里学生才明白分类讨论的含义；2)让学生牢记分类讨论的要点和讨论的标准,这样学生解题时才能完整地对参数进行讨论．