基于“三级水平”的“条件概率”教学

顾彦琼

摘要：基于知识理解、知识迁移、知识创新三级水平设计“条件概率”的教学，引导学生分析条件概率概念的要素和特征，通过不同的方式推导（诠释）条件概率公式，认识条件概率公式与其他概率计算公式的联系与区别;提炼运用条件概率解决问题的基本模型，积累运用条件概率解决问题的活动经验;合作探究解决开放性、生活化的问题，通过基本问题的推广与变式得到经典的“三门问题”。

关键词：条件概率知识理解知识迁移知识创新

喻平教授认为，数学核心素养生成的本源是知识，其发展要经过知识理解、知识迁移和知识创新三个阶段（三级水平）。“条件概率”是高中数学“概率与统计”主题的重点内容之一。《普通高中数学课程标准（2017年版）》中有关“随机事件的条件概率”的教学要求是：“结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率……了解条件概率与独立性的关系……会利用乘法公式计算概率……会利用全概率公式计算概率。了解贝叶斯公式。”“条件概率”内容比较抽象，是学生学习的难点。而一些教师在教学中，只关注概念和公式的识记以及简单题型的套用，导致学生没有很好地掌握这部分知识，对这部分知识的综合应用感到畏惧。对此，笔者尝试基于知识理解、知识迁移、知识创新三级水平设计“条件概率”的教学。

一、基于“知识理解”水平

知识理解的基本含义是指对知识的要素、本质、类属及与其他知识的联系的理解，包括“是什么”和“为什么”两个层面。知识理解既是一个过程，即利用已有经验和已学知识同化或顺应新知识的过程;又是一种结果，即对新知识的把握和领悟。

分析条件概率概念的要素和特征，是理解条件概率的前提。条件概率P（A|B）的内涵包含三个要素：事件A、事件B和条件关系。事件A的特征在于它的随机性，即还未发生;事件B的特征在于它的确定性，即已经发生;而条件关系的特征在于其表达方式的灵活多样性，在许多场合是由一个显明的条件结构表示的，如“已知……的条件下，求……的概率”。

通过不同的方式推导（诠释）条件概率公式，能更加深入地理解条件概率。条件概率公式的推导（诠释）可以从形和数两个角度展开。

形的角度比较直观，应该首先引导学生推导：如图1，用整个矩形（面积为1）来表示样本空间Ω（随机试验的所有可能结果），用矩形內任意封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件发生的概率，若圈A、B的面积分别表示事件A、B发生的概率P（A）、P（B）（AΩ，BΩ），则阴影部分的面积表示事件A、B同时发生的概率P（AB）。根据条件概率的定义，就是局限于已发生的事件B的范围来考察未发生的事件A发生的概率，而因为在事件B发生的情况下，若事件A发生，则事件A、B同时发生，所以，就相当于考察阴影部分的面积在圈B的面积中所占的比例，所以P（A|B）=P（AB）P（B）。

然后，引导学生从数的角度诠释：对于古典概型，局限于已发生的事件B的范围来考察未发生的事件A发生的概率，就相当于考察事件AB包含的基本事件数在事件B包含的基本事件数中所占的比例，因此P（A|B）=n（AB）n（B）。分子、分母同时除以样本空间包含的事件总数n（Ω），所以P（A|B）=n（AB）n（B）=n（AB）n（Ω）n（B）n（Ω）=P（AB）P（B）。

认识条件概率公式与其他概率计算公式的联系与区别，可以进一步深化理解各个概率计算公式的特点以及使用条件。

首先，由条件概率公式P（A|B）=P（AB）P（B），可得P（AB）=P（B）P（A|B），这就是乘法公式。条件概率公式和乘法公式说明，P（A|B）与P（AB）可以相互表示。进而，可以让学生辨析P（A|B）与P（AB）的联系与区别：都是事件A、B同时发生，但前者是在事件B已发生的条件下，后者则没有这个条件。

其次，若把样本空间Ω划分为n个子空间Bi（i=1，2，…，n），则由乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）可得P（AΩ）=P（A）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi），这就是全概率公式。若把全概率公式中的A视为“果”、Bi视为“因”，则全概率公式反映“由因求果”的概率问题;其中的P（Bi）是根据以往经验得到的，所以被称为先验概率。

最后，把P（A|B）和P（B|A）两个条件概率公式结合起来，可以得到P（B|A）=P（B）P（A|B）P（A），而将其全概率化，可以得到P（Bi|A）=P（Bi）P（A|Bi）P（A）=P（Bi）P（A|Bi）∑nj=1P（Bj）P（A|Bj），这就是贝叶斯公式。相对地，贝叶斯公式反映“执果溯因”的概率问题，即在结果A已发生的情况下，寻找原因Bi;其中的P（Bi|A）是得到“信息”A后求出的，所以被为后验概率。

综合来看，全概率公式与贝叶斯公式是条件概率公式和乘法公式的复杂化，是计算复杂事件概率的重要工具;先验概率与后验概率有着不可分割的联系，后验概率的计算是以先验概率为基础的，即计算P（Bi|A）要用到P（A），而计算P（A）要用到P（Bi）。

二、基于“知识迁移”水平

知识迁移是指把理解的知识（形成的基本技能）迁移到不同的情境中去，促进新知识的学习或不同情境中问题的解决。这些情境包括现实情境、学科内部问题情境、跨学科问题情境。

基本理解了条件概率的概念和公式后，要把它应用到各种问题情境中。对此，一方面，可以通过一些相对简单的问题，引导学生提炼运用条件概率解决问题的基本模型，通过概括性提升学生的迁移运用和问题解决能力。

例1有一批种子的发芽率为0.9，成活率为0.72，则种子发芽后幼苗成活的概率为。

例2一个盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，不放回，则在第一次取到一等品的条件下第二次取到一等品的概率为。

由这两道题的解决，可以引导学生提炼出运用条件概率解决问题的两个基本模型，即直接利用公式P（B|A）=P（AB）P（A）和缩小基本事件范围利用P（B|A）=n（AB）n（A）。

另一方面，可以提供更现实、更复杂的问题情境，帮助学生积累运用条件概率解决问题的活动经验，获得类比迁移的固着点，从而提升迁移运用和问题解决的能力。具体来说，可以引入与学生生活息息相关的性别问题、天气问题等。

例3（性别问题）假定男女出生率一样，在有两个孩子的家庭中随机选取一个家庭。

（1）求其有一个男孩、一个女孩的概率;

（2）若预先知道选取的家庭至少有一个女孩，求其有一个男孩、一个女孩的概率。

例4（天气问题）一周的天气情况如表1所示，求在预报有雨的条件下实际也下雨的概率。

星期日一二三四五六预报晴阴雨雨雨晴雨实际晴雨阴雨雨晴晴三、基于“知识创新”水平知识创新的一层含义是指能够解决一些非常规的开放性问题（或者说“结构不良问题”），或者生成超越教材规定内容的数学知识，或者通过推广与变式得到新的问题;另一层含义是指能够运用数学眼光和思维看待和处理一些现实生活中的问题。这里的“创新”是相对于学生而言的，需要学生以参与者而非旁观者的身份介入学习，以自我“发现”获得知识、解决问题，融入或形成自己的观点、意见、思想。

“条件概率”的教学中，可以引导学生合作探究，解决一些非常规的开放性问题，或者运用数学眼光和思维看待和处理一些现实生活中的问题。例如，引导学生关注社会上普遍存在的“让孩子赢在起跑线上”的焦虑感和“争相让子女入读名牌幼儿园”的现象，提出“是否赢在起跑线上，入读名牌幼儿园，才能赢到最后？”的问题，通过网络上公开的升学率数据，运用条件概率的知识，得出在名牌幼儿园和普通幼儿园学习对进入大学的影响的有关结论。由此，不仅可以增加学生对社会的认识，还可以很好地培养学生的合作探究能力、数据分析素养和理性精神。

还可以引导学生通过推广与变式得到新的问题。例如，将例3演变为经典的“三门问题”：游戏节目中，参赛者会看见三扇关闭的门，其中一扇后面有一辆汽车，另外两扇后面各有一只山羊;参赛者随机选中一扇门，如果该门后面有汽车，则参赛者可赢得该汽车;当参赛者选定一扇门后，主持人先不开启它，而开启剩下两扇门中的一扇，露出其后的山羊，然后問参赛者要不要换另一扇仍然关着的门。对此，可以借助条件概率公式或全概率公式，得到“换另一扇门会增加赢得汽车的概率，所以要换”的结论。如果学生不能理解这一似乎有悖常识或直觉的结论，教师可以引导学生将其极端化，推广为“100门问题”：参赛者选定一扇门后，主持人开启剩下99扇门中的98扇，露出其后的山羊，那么参赛者要不要换另一扇仍然关着的门？进而，帮助学生获得肯定的结论。

参考文献：

[1] 喻平.从PME视角看数学核心素养的培养[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（2）.

[2] 金天寿.试谈条件概率的教学[J].数学通报，2012（6）.