例谈数列新情境习题的教学

◇ 山东 王夕丽

数列新情境问题在高考中时常出现，对学生的审题、理解以及知识迁移的能力要求较高.很多学生遇到这类问题时不知道如何下手，因此教学中教师应注重优选例题，为学生讲解相关的解题思路，帮助其树立解答此类问题的自信.

1 巧找参数关系

解答数列新情境习题时应认真审题，从已知条件中找到解题的蛛丝马迹.解答相关习题时可先根据已知条件列出数列的前几项，找出项数值与项数之间的规律，顺利解题.

例1给出以下整数对序列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对为( ).

A.(2，10) B.(10，2)

C.(3，5) D.(5，3)

该题目较为特殊，不仅需要找到整数对与整数对之间的关系，而且还需要找到每组整数对中两个数之间的关系，难度稍大，解题时需要冷静分析.

认真观察整数对，可知其对应的和分别为2，3，4，5，…，对应的个数分别为1，2，3，4，….由等差数列可知1＋2＋3＋…＋10＝5×11＝55，因此第57个数为第11组中的第2个整数对，两个数的和为12.由每组整数对的第一个数和序数之间的关系可知，第11组的第2个整数对为(2，10)，故选项A.

2 活用已知条件

数列新定义题能很好地考查学生知识迁移的能力，是高考的热点内容之一.为使学生掌握数列新定义问题的解题思路，教学中应引导学生树立解题的自信，围绕具体例题，点拨学生活用已知条件，运用所学的数列知识对已知条件进行灵活转化，化难为易.

例2假设三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3为等差数列，且满足，则称x1，x2，x3为一个“β 等差数列”.已知集合M ＝{x||x|≤100，x∈Z}，则M 中三个元素组成的所有数列中，“β 等差数列”的个数为( ).

A.25 B.50 C.51 D.100

该题目看似无从下手，事实上深入理解“β 等差数列”定义后，巧妙转化已知条件就不难解答了.

由实数x1，x2，x3为等差数列，可设其公差为d，由则d(3x2－d)＝0，因为d≠0，故d＝3x2，则这三个数为－2x2，x2，4x2，又因为x1，x2，x3∈[－100，0)∪(0，100]，且x1，x2，x3∈Z，则－25≤x2≤25，因此，满足题意的“β等差数列”有50个，故选B.

3 把握习题本质

部分数列新情境习题较为抽象，但只要认真回顾所学知识，把握等差数列与等比数列的本质，深刻理解两个数列的定义，注重巧妙类比，便能突破该类习题.教学中应优选相关例题，认真剖析解题思路，使学生能够从中有所感悟.

例3在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对于任意的m，n，都有f(1，1)＝1，f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，f(m＋1，1)＝2f(m，1)，则以下结论正确的个数为( ).

①f(1，5)＝9；②f(5，1)＝16；③f(5，6)＝26.

A.3 B.2 C.1 D.0

解答该题目的关键在于深刻理解题意，看似难度较大，但事实上考查的就是等差数列与等比数列定义的活学活用.

因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，故根据所学的等差数列知识可知，f(m，n)是以f(m，1)为首项，2为公差的等差数列，因此，f(m，n)＝f(m，1)＋2(n－1).又因为f(1，1)＝1，因此，f(1，5)＝f(1，1)＋2×(5－1)＝9.因为f(m＋1，1)＝2f(m，1)，则f(m，1)是以f(1，1)为首项，2为公比的等比数列，则f(m，1)＝f(1，1)·2m－1＝2m－1，因 此f(5，1)＝24＝16，f(5，6)＝f(5，1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，综上可知上述3个结论均正确，故选A.

为使学生突破数列新情境问题，教学中教师应引导学生夯实基础，充分把握等差与等比数列的本质，灵活掌握相关的性质.同时，在课堂上教师需注重精讲高质量的新情境问题，拓展学生视野，积累数列新情境问题的解题经验.