“平面向量坐标表示”教学中的问题设计

马全来

(河南省新乡市基础教育教学研究室，453000)

课堂教学中的导学，要求教师向学生提出需要解决的问题,从而使学生在导学提纲的引领下,认真研读教材文本,独立思考、深入钻研,自己或与同学合作解决老师提出的问题．可以说,教师在导学环节的问题设置,是一堂课是否成功的一个关键环节,对教师来说也是一个困惑点．问题设置过于随意,容易导致学生思维效率不高,教师也很容易出现将“满堂灌”搬家为“纸上谈兵”．突破此类困惑的关键在于教师在设置问题时要想到为什么导?导什么?如何导?这是考验教师教学智慧的关键点,也是点亮学生思维的关键处．

如在某教师“平面向量的正交分解及坐标表示”的导学案中,在讲到平面向量的坐标表示时,仅仅在导学案中设计了一个问题:“平面向量的坐标是如何定义的?”

这样一个问题的设置,不利于学生用数学的眼光去观察、发现、思考及用数学的语言表达平面向量坐标的定义．学生问题的解决过程,如果就是看教材中定义的过程,则不能帮助学生理解数学学科的思维方法,也不能帮助学生去发现数学内容之间的内在联系．平面向量的坐标定义如果是教师和教材强加于学生的,则会导致学生不清楚它产生的背景和形成过程,自然在以后的学习过程中,不能很好地对其进行应用.尤其是遇到新的问题时,不能运用蕴含在数学知识中的数学思想方法进行数学地思考与推理．基于此,笔者对这个环节的导学过程设计如下.

问题1什么是平面向量基本定理?

设计意图在复习所学知识的同时,揭示平面向量基本定理这一知识点背后所蕴含的数学知识之间的联系:即同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合(定性刻画).当两个不共线的向量确定之后,任何一个向量都可以由这两个向量量化(定量表示,出现关键词:有序数对).平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示．

问题2对于不共线的两个向量e1,e2,它们存在什么特殊的位置关系?

设计意图垂直是一种重要的情形,引入正交分解的概念．出现关键词“垂直”．让学生经历从一般到特殊的数学活动经验．

问题3在互相垂直的两个基底向量e1,e2中,它们的长度可以有特殊的情况吗?

设计意图出现关键词“单位长度”．让学生加深从一般到特殊的数学活动经验,经历从两个不共线向量的基底向量这一抽象概念到垂直且长度为1的两个基底向量的具体过程．

问题4若两个同起点的基底向量e1,e2为单位向量且互相垂直,应用平面向量基本定理,对于平面内任一向量a该如何表示?可由什么条件唯一确定?

设计意图a=xe1+ye2,可以由有序数对(x,y)唯一确定．出现关键词:定点．一个定点,两个不共线的向量,以及数乘向量和向量加法这两个运算,就给出了平面P的一个“坐标系”．使坐标系内的向量与有序数对(即坐标)建立起一一映射,从而实现向量的量化．

问题5我们知道向量是有方向的量,从以上问题中我们还发现了垂直、单位长度、有序数对,这些让你想到了什么?

设计意图关注知识的发生、发展过程,探究知识之间的内在联系,聚焦关键词,类比、推广、化归,引导学生学会数学思考与推理．

问题6如何定义平面向量的坐标?

设计意图引导学生用数学的语言表达世界．

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确提出，高中数学教学以发展学生学科核心素养为导向,创设合适的教学情境.启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质．在教学中,教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养,设计切合学生实际的情境和问题,引导学生用数学的眼光去观察现象、发现问题,使用恰当的数学语言、模型描述问题,用数学的思想方法解决问题．在问题解决的全过程中,理解数学内容的本质,促进学生数学学科核心素养的发展．设计适合学生实际的问题,在学生的知识的最近发展区提出问题,对教师也是具有挑战性的任务.需要教师不断学习、探索、研究、实践、提升自身的数学素养,了解数学各部分知识之间、数学与生活、数学与其他学科的联系,创造出符合学生认知规律、有助于提升学生数学学科核心素养的经典问题．这也是教师实践创新的载体,利用好这一载体有利于提升教师的专业水平．