关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探讨

梁雄

【摘要】函数知识是高中数学学科的重要组成部分，函数不仅在高考中占据着较大比重，而且也是学好高等数学的重要保障.函数知识架构烦琐，涉及数学理论较多，学生不易掌握.基于此，高中数学教师应不断创新教学方法，在讲解函数解题技巧时，应注重培养学生的发散思维，多元化、多层面地运用不同方法解决函数题型.

【关键词】高中数学函数;解题思路;多元化方法;举例探讨

在解决函数问题时，由于学生基础知识不牢固、解题思路不清晰、解题方法单一，使学生陷入解题误区，日积月累，堆积了大量的未解函数题型.针对这一情况，数学教师应及时了解和掌握学生的学习动态，正确引导学生拓展解题思路，以各种不同的解题方法解决相对应的函数题型，进而提升解题效率，提高数学成绩[1].

一、高中数学函数学习的现实状况

（一）基础知识欠缺，公式理解肤浅

由于许多高中生数学基础较差，在面对较为复杂的函数理论与题型时，往往措手不及，不知道从何处着手，高中数学知识的学习是一个循序渐进的过程，不能“一口吃个胖子”.尤其对于函数概念与一些固定公式，学生一般都采取死记硬背的方法，学习效率大打折扣.高中函数知识已经从初中简单的函数问题过渡到较为复杂和深奥的指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数等.

当学生面对同一个函数题型时，应根据题目中所给出的已知条件，合理选择相对应的解题方法.解题时，学生不但要熟记函数概念、性质，而且对方程知识也应该轻车熟路，否则在解决函数问题时就会陷入解题瓶颈.

（二）解题方式单一，思想意识僵化

对于高中函数问题，一般有多种解题方法，解题方向和角度也较为宽泛，而对部分学生来说，依然沿用过去的解题方法解决函数问题，固定的解题模式限制了学生的想象力与个人能力的发挥，使解题效果差强人意.在解决实际的函数题型时，许多学生直接从概念入手，按照固定的思维模式对问题进行求解，如果函数题型稍稍做以改变，学生就无从下手.因此，学生应该转变思想观念，摒弃传统固化的解题思维，跟上教师的授课节奏，充分发挥自身的发散思维，采用各种不同的解题方法解决实际问题.

二、多元化解题方法应用的实际意义

（一）提升学习效率，锻炼逻辑思维

学好数学知识对培养和锻炼学生的逻辑推理能力大有帮助，在面对函数题型时，学生通过运用多元化的解题方法和解题思想，将所学过的公式、定理运用到实际解题当中，使解题过程更加清晰，解题方向更加明确，解题效率大大提升[3].

（二）养成良好的学习习惯，提升数学学科素养

高中生的理性思维比较成熟，主观能动意识有了很大提升.而新课改要求每一名学生不仅要掌握必要的文化知识，同时也应注重提升自身的综合素养.因此，通过在实际解题过程中运用多元化的解题方法和思路，可以进一步帮助学生养成一个良好的学习习惯，促进学生数学学科素养的提升.

（三）冲破传统束缚，联系课堂实际

在函数解题过程中，学生从各个不同角度，采用多种方法攻克一些较为复杂的题型，彻底冲破了传统的学习方法与解题方法的禁锢，改变了当下固化的学习格局.此外，教师在课堂教学时，也应该经常讲授一些函数题型的解题技巧与方法，将每一种方法都列举出相对应的题型，以点及面，让学生将实际应用与课堂教学相结合，以此提升学习效率.

三、多元化解题方法的举例说明

在遇到函数题型时，学生通常运用函数的定义、定理和平时所学的基础知识进行套用，久而久之就形成了一种固定的解题方法，这种单一的解题思路虽然迎合了教材内容，但是却限制了自身想象力以及创造力的提升，而这种方法也只适用于一些固定不变的题型，一旦题型发生改变，学生在解题时就会束手无策.面对这一情况，学生应及时转变思路，全方位、多角度地考虑问题，从正到反，循序渐进地分析函数题型当中每一个变量间的具体关系，在明确题设条件的基础上进行计算，得出正确答案.

以高中函数题型中求值域问题为例，通常运用的解题方法包括：观察法、反函数法、最值法、比例法、单调法、判别式法等[4].

（一）观察法

这种方法通常應用于一些简单的函数题型当中，我们通过直观的观察，就可以快速地确定解题思路.比如，求函数y=3+2-3x的值域.对这道简单的求值域问题，首先可根据算术平方根的性质，求出2-3x的值域.解：由算术平方根的性质，知2-3x≥0，故3+2-3x≥3.运用观察法求解类似的函数题型，简单明了，也可以说观察法是一种较为常用的、也是易于学生掌握的解题技巧与方法.

（二）反函数法

这种解题方法通常用于函数本身存在反函数的情况，其反函数的定义域实则就是原函数的值域.比如，求函数y=x+1x+2的值域.学生首先求出原函数的反函数，再求出其定义域.解：函数y=x+1x+2的反函数为x=1-2yy-1，其定义域为y≠1的实数，故原函数的值域为{y|y≠1，y∈R}.利用反函数解题也是解决函数题型的重要方法之一，运用这种方法不但可以培养学生的逆向思维，同时也使解题效率大大提升.

（三）最值法

这种方法是指在封闭区间范围内，如果存在最值，就可以通过最值的获得而得到函数的值域.比如，对闭区间[a，b]上的连续函数y=f（x），可求出y=f（x）在区间[a，b]内的极值，并与边界值f（a）、f（b）做比较，求出函数的最值，即得到函数f（x）的值域.比如，已知2x2-x-33x2+x+1≤0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域.点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域.解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤32，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤32，∴z=-（x-2）2+4且x∈-1，32，函数z在区间-1，32上连续，故只需比较边界的大小.

当x=-1时，z=-5;当x=32时，z=154.∴函数z的值域为z-5≤z≤154.

（四）比例法

对一类含约束条件的函数的值域的求法，可将约束条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域.

比如，已知x，y∈R，且3x-4y-5=0，求函数z=x2+y2的值域.

本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将约束条件转化为比例式，设置参数，可将原函数转化为单值函数的形式.

解：由3x-4y-5=0变形得x-34=y-13=k，∴z=x2+y2=（3+4k）2+（1+3k）2=（5k+3）2+1.当k=-35时，x=35、y=-45，zmin=1，因此，該函数的值域是{z|z≥1}，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识.

（五）单调法

这种方法就是利用函数在给定区间上的单调递增或单调递减的情况来求得值域，这种方法在解决函数问题时较为常用.比如，求函数y=4x-1-3xx≤13的值域.由已知的函数是复合函数，可设g（x）=-1-3x，f（x）=4x，y=f（x）+g（x），在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域.解：设f（x）=4x，g（x）=-1-3xx≤13，易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）=4x-1-3x在定义域内为增函数，从而y≤f13+g13=43，∴所求的函数值域为yy≤43.

（六）判别式法

如果关于某一个变量的二次方程可转化为分式函数或者无理函数，学生在解题时就可以运用判别式法进行解题.比如，求函数y=2x2-2x+3x2-x+1的值域.首先将原函数转化为关于自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式确定出原函数的值域.解：将上式化为（y-2）x2-（y-2）x+（y-3）=0，当y≠2时，此方程有解，∴Δ≥0，即（2-y）2-4（y-2）（y-3）≥0，解得2

四、结束语

学生可以结合自身的学习能力以及对函数知识的理解能力，科学合理地选择较为简捷的方法解决函数题型.如果在解题过程中遇到困难，学生可以通过组建学习合作小组的形式，利用团队的力量解决复杂的函数问题.相信运用多元化的解题方法解决函数问题，必将收到理想的学习效果，进而使数学成绩得到快速提升.

【参考文献】

[1]徐沛丰.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探讨[J].文化创新比较研究，2018（31）：179+181.

[2]武成豫.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探讨[J].未来英才，2018（2）：160-161.

[3]钱农文.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探索[J].文理导航，2017（26）：31.