浅谈初中数学解题的一般步骤

2020-03-13孙婷婷谭希丽

数学学习与研究 2020年2期

关键词：解题方法数学学习

孙婷婷谭希丽

【摘要】影响初中数学学习的因素有很多种，其中牢固地掌握数学解题的步骤和方法是至关重要的.数学解题步骤和方法直接影响着数学学习和考试的结果，本文将对初中数学教学中的典型案例进行分析总结，从而进一步系统地提出数学解题的常规步骤和方法.

【关键词】数学学习;解题步骤;解题方法

一、解题步骤

做任何事情都是具有一定程序的，解决数学问题也是如此，要遵循一定的解题步骤.初中数学有很多逻辑证明题、推理题，如果初中生能够掌握解题的步骤和方法，会使解题思路更加明晰，使问题变得更加容易解决.

根据下面例题，笔者总结了解决初中数学题的一般步骤.

例如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.

（1）求证：BC是⊙O的切线;

（2）设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长.

（一）阅读题目

首先要弄清楚题型和题目的要求是什么，避免答非所问.例如，选择题是单项选择还是多项选择，计算题的准确度是什么，计算的方法有没有什么要求.有没有什么约束性的条件.总之，题目应该要认真通读，弄清题型及要求、了解题意.

例如，在读完例题之后，需要了解到这道题考查的是与直角三角形、角平分线、圆的性质相关的知识点.我们需要掌握切线的性质以及如何证明直线是圆的切线的方法，我们还需要掌握常用的求解线段的长度比例关系的方法，如相似三角形或全等三角形求线段比，面积法求线段比，通过勾股定理、特殊角的三角函数值求出线段比等.

（二）审题

审题的关键所在就是要找到题眼，找到了题眼就相当于抓住了题目的重点和核心.在数学题中找到题眼、理解题眼、破解题眼对解题有事半功倍的效果.我们在审题过程中还应逐渐培养自己读题反射的能力、熟练地捕捉题目关键字的能力.

例如，在例题的审题过程中，我们需要掌握以下内容：

例题中已知条件有：

（1）△ABC是直角三角形，∠C是直角;

（2）AD是∠BAC的角平分线，AD交BC于点D;

（3）点O是圆心且在AB上，A，D，E，F在圆上，AE是直径;

（4）OF∩AD于点G.

待求解的问题：

（1）求证：BC是⊙O的切线;

（2）设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长.

（三）分析题意

除了要分析如何解题之外，还要分析出题人的意图，这道题目考查的是哪个知识点，一般解决此类问题需要用什么方法，这都是我们在分析问题时需要思考的.主要包括以下内容：（1）由已知条件可以得到哪些结论;（2）按照题目所给的条件和所要求证的结论，去判断需要用到哪些定义、定理以及数量关系;（3）对所有的条件和结论深度剖析，找到条件和结论之间的关联;（4）综合运用逻辑思维和非逻辑思维的方法，寻求解题思路;（5）根据问题找到解决此类问题的常见方案和策略并进行筛选，选择最恰当的方法.

例如，在解决这道例题时

通过已知条件可以直接推导出下面的结论：

（1）∠BAD=∠CAD;

（2）AE是直径，连接OD，OD是半径;

（3）连接ED，∠ADE是直角（直径所对的圆周角是直角）;

抽象出待解决的问题：

（1）BC是⊙O的切线;

（2）用AB，AF表示AD.

这道题的第一个问题是让我们证明BC是圆的切线，通常证明切线的方法是求证直线垂直于圆的某条半径，且这条直线经过该半径非圆心的端点.第二个问题就是需要将AB，AF，AD这三条线段联系起来，由于题目中没有涉及线段的具体长度，直接求出线段长是不可取的，题目中有角的大小关系，考虑可以通过三角形相似将这三个线段联系起来，相似三角形建立线段比例关系需要至少两个三角形，我们需要找到△ABD和△ADF相似.

（四）拟定解题计划

第一步，连接需要用到的辅助线.

第二步，根据已知条件证明∠ODA=∠CAD，得到OD∥AC，得到OD⊥BC.

第三步，证明∠BAD=∠CAD，再证明∠ADB=∠AFD，得到△ABD∽△ADF.

（五）实施解题计划

解（1）证明：如图所示，连接OD.

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD.

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD（等量代换），

∴OD∥AC.

∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC.