试论APOS理论与锐角三角函数概念的形成

朱炎

【摘要】认知是一个过程，无论对象存在何种特点，在对其进行观察和了解的过程中，都需要掌握合理的方式方法.基于此，本文以基于APOS理论的认知过程为切入点，简述该理论下从形象到抽象、从实践到理论的认知特点，再以此为基础，论述APOS理论与锐角三角函数概念的形成过程，最后给出基于心理学的APOS理论应用分析，以期通过分析，明晰理论，为后续相关工作提供参考.

【关键词】APOS理论;锐角三角函数;循序渐进;自我理解

APOS理论最初提出于美国，杜宾斯基等人创立了数学概念学习的APOS理论模型，相关学者认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，此建构过程要经历以下四个阶段，即活动（Action）阶段、过程（Process）阶段、对象（Object）阶段、概型（Schema）阶段.每一个阶段都是相互对独立的，但又是下一个阶段认知的前提，整个认知过程建立在实践和理解、重构的基础上，具有自主的特点.

一、基于APOS理论的认知过程

（一）从形象到抽象

任何一种数学教学理论与概念模型，都应该加强对“如何学习数学”和“什么样的教学计划可以为数学学习提供帮助”的理解，只是陈述事实并不能对教学活动产生帮助.二十世纪九十年代开始，人们就将APOS理论应用于数学教学互动中，并应用该理论完成数学概念的解读，这一概念的成功应用也弥补了当时数学概念教学中教学方式存在的不足.

在APOS理论下，认知的过程既带有常规的渐进特点，也带有一定的逆向特征.在该理论下，学生尝试理解对象目标，无须进行大量的理论分析，首先以活动（Action）使对象的基本特征得到明确，这一阶段的认知是形象的、可视的.进入过程（Process）阶段，认知开始变得系统，对象的特点信息将起到推动认知的作用.进入对象（Object）阶段，目标在学生的大脑中已经很明确，具有与众不同的特色，但也越发抽象.进入概型（Schema）阶段，学生已经摆脱了认知对象外观的限制，能够在脑海中任意构建相同的形象，认知彻底抽象化，也标志着APOS理论下的认知过程进入结束阶段.

（二）从实践到理论

实践是一切学习、认知过程的最初形式，在科学发展乃至文明社会出现的早期，所有认知方式都是以实践形式开展的，在APOS理论下，实践依然是认知的基本方式.无论目标对象存在何种差别，尝试了解其规律、属性，都必须对其进行具体分析，这一过程是主观对客观进行的、有目的的分析探索[1].

（三）从观察到理解

观察与理解是认知的两个关联性步骤，理解的方式可以分为很多种.在APOS理论下，观察实际上是活动（Action）的具体表现，即包括简单的外观观察，也包括观察后的分析解读，在此过程中，学生需要通过观察将尚未形成系统认知的事物进行拆解，使其不断系统化、概念化、结构化.如学生尝试理解“不同三角形的特点”，首先通过观察抓住理解的重点，之后以自己此前所学进行思考，进入过程（Process）阶段，获取了自身理解后，无论成果如何，均进入下一阶段，即对象（Object）阶段，当学生对“不同三角形的特点”的理解没有被后续吸收的知识推翻，即进入概型（Schema）阶段，形成了最终的理解.

二、APOS理论与锐角三角函数概念的形成过程

（一）活动（Action）阶段

锐角三角函数概念的理解，同样是认知过程的一种具体化，在初始阶段，也即活动（Action）阶段，概念的形成是非结构化的、模糊化的.如中学生可以分辨锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，但对如何通过函数进行表达，大部分学生都缺乏认知.在APOS理论下，认知的形成以具体的实践方式为起点.学生对各类函数进行解析，构建不同的图像，持续进行实践，由于函数的多样性，实践过程很可能是漫长的，经历多重失败后，学生会自发总结规律，如函数某一个值的变大总是导致三角形角度增加，产生了角度更大的钝角三角形，那么尝试将该数值缩小，就有可能获取直角或者锐角三角形，在此理论的引导下，学生可自然而然地优化认知行为，并在持续进行活动（Action）的情况下，顺利进入下一阶段.

（二）过程（Process）阶段

当学生尝试通过缩小某一固定值获取锐角三角形时，其认知行为进入了过程（Process）阶段，该阶段的认知变化是对活动（Action）阶段的无限次重复.假定学生本身的敏锐程度、总结能力不强，可能持续对数值进行推敲，每次减少少量值，使认知的过程枯燥烦琐，直到无数次实验后，才能获取认知上的突破，这是APOS理论下，学生形成锐角三角形概念的最常见过程.此外，还有两种认知行为也提升概念形成的效率，一种为结构化知识引导，另一种为半结构化知识引导.结构化知识引导，是指学生获取了直接的教导，能够以规律的形式快速摸索出最有效的实践方法，这是APOS理论被发现、应用的初衷，最典型的就是教学工作.半结构化的知识引导体现在认知过程中，学生能够敏锐地发现认知规律，从而提升认知过程的效率.无论以何种方式完成锐角三角函概念过程（Process）阶段的认知，都会自然進入第三个阶段，即对象（Object）阶段[2].

（三）对象（Object）阶段

简单地说，当个体意识可以将过程看作是一个整体，并对其进行变形或者转换操作时，就会将整个过程当作为一般意义上的数学对象.过程就会凝聚为对象.这样做，可以让对象阶段的过程更加精致化，以自身的特性形成独立对象，并参与数学活动，对象阶段不仅可以操作其他对象，还能够被比它层次更高的运算操作，从而为对方进行服务，为数学深入研究创造有利条件.

在对象（Object）阶段内，以APOS理论为视角，学生开始形成了对锐角三角函数的初步认知，这种认知很大程度上是片面的，如学生通过不断的参数代入，在无数次的实践过程中，获取了第一个锐角三角函数公式，在没有进一步探索的情况下，学生对锐角三家函数的认知可能会长时间停留在这一阶段，形成认知上的“坐井观天”效应.对象（Object）阶段可视作为认知的第一个阶段性目标，为避免“坐井观天”效应，就需要重复上述两个阶段的工作，即持续的活动（Action）、过程（Process），不断进行认知上的积累，学生对锐角三角函数的理解也会更加全面化、系统化.如果在对象（Object）阶段获得了理论指导（包括结构化理论指导和半结构化理论指导），可以使该阶段的认知快速提升.如学生通过摸索获取了一个能够生成锐角三角函数的等式，给予半结构化引导，使学生获知极限值理论，在等式的极限值（角度90°）下，任何参数的变化都可以保证生成锐角三角形图像，学生对该函数的认知生成了第一个重要规律，以此类推，其在对象（Object）阶段的认知会持续完善.

（四）概型（Schema）阶段

概型（Schema）阶段，也即学生形成了认知的结束阶段，该阶段内，学生通过多次的活动（Action）、过程（Process），进入对象（Object）阶段，并形成了明确的认知，明确锐角三角函数概念以及其多种变化特点，已经较为清晰的、牢固的被学生掌握.学生面对函数等式时，也能相应转化为对应的锐角三角形图像.在APOS理论下，概型（Schema）阶段的认知能力提升事实上不是一成不变的，学生可能在知识疏于应用、学习懈怠的情况下失去对固有认知的掌握，丧失对锐角三角函数概念的认识，在此情况下，尝试重新获取知识，可以进入此前的认知循环，从活动（Action）阶段重新开始.如果学生尝试理解更高深的知识，也可以以概型（Schema）结果为基础，进行深入学习，提升认知水平.

三、基于心理学的APOS理论应用分析

APOS理论，本质上是循序渐进的认知过程，强调以自我理解能力的深入优化提升认知水平，这一过程是循序渐进的，也是APOS理论后续应用的基本要求.如尝试进行宣传工作，但目标群体对宣传内容的理解十分有限，依然强调结构化宣传，结果可能并不理想.可以利用受众心理构建的基本特点，首先传递基础知识，如宣传内容的某一个要素，当受众能够理解这一要素后，再大范圍开展其中内容的宣传，使受众的认知过程渐进化，逐步完善.此外，APOS理论还强调自我理解和消化，这即是说，不能一味进行结构化知识的传递，也不能在学生尚未进入认知的下一阶段时，盲目推进认知过程.应确保学生在活动（Action）阶段、过程（Process）阶段进行了足够完善的实践，再尝试进入对象（Object）阶段，并将该阶段作为重点，使学生持续进行认知积累，最终自然步入概型（Schema）阶段，自行掌握结构化的知识.

以“直线的斜率”教学设计为案例加以分析，探究APOS理论的有效应用.在活动阶段时，需要感受概念的直观背景，通过对背景的解析形成感性认识.无论是人们常见的拱桥，还是太空中行星轨迹，都是以曲线的形式完成运动，如果从数学角度去探索曲线运动轨迹，就需要加以量的刻画，人们也因此创造了解析几何学.过程阶段内，教师提问：“大家小时候玩过跷跷板吗？如果将跷跷板想象为一条直线，跷跷板运动的时候就会出现一系列直线，这些直线都有什么共同之处？”随后，学生就会指出这些直线都会经过同一个点，教师再次提问：“这些直线方向不同，如果将方向统一确定为一个方向，那么跷跷板运动过程中直线是不是就确定了？”得到了学生的肯定回答之后，教师总结出：直线的确定需要一个点与一个方向.

斜拉桥拉锁也可以按照上述的跷跷板案例进行分析，拉锁可以看成是方向不同的直线，对桥面来说，这些直线的存在只能代表倾斜度不相同.想要用数学方法刻画直线倾斜度，需要思考以下两个问题：（1）为什么大桥的引桥很长？（2）为什么人会感觉从很高的地方滑下来会更加刺激？通过讨论，学生发现倾斜程度与高度、宽度的比有关系.于是教师提问：“如果任意画出两条直线，如何判断出两条直线的倾斜程度？”随后，学生提出了参考系，将其引入直角坐标系.由此可见，APOS理论对目前数学概念教学来说，有着一定的借鉴意义，教师在课堂实践活动中可以将实际与理论相结合，利用客观实际分析概念理论，通过总结与反思设计数学概念教学活动，只有这样才能够让学生对概念知识有充分的了解，进而优化知识结构，完善知识体系.

综上，在APOS理论下，锐角三角函数概念的形成是一个典型的、渐进式的认知过程，与常规认知的思路不同，APOS理论强调以实践为基础和引导，使认知过程更加具体化，实现了从形象到抽象、从实践到理论、从观察到理解的认知过程.这也为其后续应用提供了更多思路，包括强调循序渐进、强调实践认知、强调自我理解等，进一步发挥心理引导作用，提升认知效果.

【参考文献】

[1]赵红霞，李丹.基于APOS理论的小学数学概念教学研究——以《轴对称图形》教学为例[J].兵团教育学院学报，2018（2）：61-65.

[2]刘洪霞，赵文才，包云霞.基于APOS理论的高等数学翻转课堂教学设计与实践[J].统计与管理，2018（1）：96-98.