多种积分类型的统一形式

2020-03-13陈实陈小艺傅勤

数学学习与研究 2020年2期

陈实陈小艺傅勤

【摘要】积分是高等数学和数学分析课程中的重要问题，多种积分类型有着不同的表达形式.本文通过分析定积分、重积分、曲线积分和曲面积分中的典型例题，探究各类积分之间的关联性，由此构建多种积分类型的统一形式.

【关键词】高等数学;各类积分;统一形式

【基金项目】苏州科技大学2018年大学生创新创业训练计划项目“《数学分析》课程内容的扩展、思索、问题研究”（2018199）.

积分是高等数学[1]和数学分析[2]课程中的重要内容，是学习常微分方程和概率论等数学课程的基础，也是大学数学教与学的重点.根据积分区域维数的不同，积分有多种形式，具体而言，为定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分等.在学习过程中，重积分、曲线积分和曲面积分的概念容易混淆，计算也较为烦琐，这激发了我们的思考：能否运用重积分、曲线积分和曲面积分之间的关联性，构建出统一的积分形式，以有助于这方面知识点的教与学工作.

本文从空间维数角度出发，借助于一些约束条件的设置，着重分析重积分、曲线积分和曲面积分之间的关联性，并由此构建这几类积分的一种统一表达形式.

一、问题分析

积分是在极限条件下，某种数量无限分割的求和.一般来说，积分由积分号、积分区域、积分变量和被积函数构成，其中被积函数可以含有不同的自变量个数，积分区域也可以是不同维度的空间集合，甚至为没有直观几何意义的高维空间集合.具体而言，积分可分为一维空间集合上的积分、二维空间集合上的积分、三维空间集合上的积分乃至n维空间集合上的积分，与之相对应的是定积分、曲线积分、二重积分、曲面积分、三重积分乃至n重积分.因此，研究重积分、曲线积分和曲面积分之间的关联性，也就是研究不同空间维数的积分之间的关联性.

假设积分为∫Ωf（x）dΩ，其中Ω为积分区域，x为积分区域空间中对应的向量.

当Ω为一维空间中的区域时，积分是∫baf（x）dx，即为定积分.

当Ω为二维空间中的区域时，有两种情形：① 确为二维问题：积分为∫Ωf（x，y）dxdy，即为二重积分;② 形式上为二维问题，实质上为一维问题，以第一类曲线积分为例，设L为平面上可求长度的曲线段，f（x，y）为定义在L上的函数，考虑L上的曲线积分∫Lf（x，y）ds，因为（x，y）在曲线段L上，所以满足曲线方程y=y（x），a≤x≤b，此时曲线积分∫Lf（x，y）ds可化为

∫baf（x，y（x））1+（y′（x））2dx，

由此二维空间区域上的积分借助于约束条件化为了一维空间区域上的积分.

当Ω为三维空间中的区域时，有三种情形：① 确为三维问题：积分为∫Ωf（x，y，z）dxdydz，即为三重积分;② 形式上为三维问题，实质上为一维问题，以第一类曲线积分为例，设L为空间上可求长度的曲线段，f（x，y，z）为定义在L上的函数，考虑L上的曲线积分∫Lf（x，y，z）ds，因为（x，y，z）在曲線段L上，所以满足曲线方程

F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0， a≤x≤b，

可从中解出y=y（x），z=z（x），

此时曲线积分∫Lf（x，y，z）ds可化为

∫baf（x，y（x），z（x））1+（y′（x））2+（z′（x））2dx，

由此三维空间区域上的积分借助于约束条件化为了一维空间区域上的积分;③ 形式上为三维问题，实质上为二维问题，以第一类曲面积分为例，设S是空间中可求面积的曲面，f（x，y，z）为定义在S上的函数，考虑S上的曲面积分Sf（x，y，z）ds，因为（x，y，z）在曲面S上，所以满足曲面方程z=z（x，y），（x，y）∈D，此时曲面积分

Sf（x，y，z）ds，

可化为

Df（x，y，z（x，y））1+（zx（x，y））2+（zy（x，y））2dxdy，

由此三维空间区域上的积分借助于约束条件化为了一维空间区域上的积分.

综上所述可知，二维空间区域上的积分借助于一个约束条件，可化为一维空间区域上的积分;三维空间区域上的积分借助于两个约束条件，可化为一维空间区域上的积分，而三维空间区域上的积分借助于一个约束条件，可化为二

维空间上的积分，由此我们得知，高维空间上的积分可通过约束条件变成低维空间上的积分.将这样的思维方式运用到n维空间区域上的积分上，就能得到本文的主要结论，即多种积分类型的统一形式.

二、主要结论

假设积分为∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ，其中Ω为n维空间中的积分区域，

设置约束条件为

g1（x1，x2，…，xn）=0，g2（x1，x2，…，xn）=0，…gn-m（x1，x2，…，xn）=0.

当n=m时，即无约束条件，此时

∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ