考虑融合算法与交叉熵的毕达哥拉斯决策模型

宋 娟

宁夏大学 物理与电子电气工程学院 宁夏沙漠信息智能感知重点实验室，银川750021

1 引言

管理决策分析主要用于在可数的备选策略或对象集合中，依据相关的指标或标准进行评价分析，最终优选出综合条件最好的策略或对象[1-2]。由于现实管理决策问题复杂性急剧增加，20 世纪60 年代，著名学者Atanassov在模糊集理论[3]的基础上，引入了以隶属函数和非隶属函数为特征的直觉模糊集[4]的概念，这是对模糊集概念的一种推广形式，因为模糊集的基本成分只是隶属函数。对于直觉模糊集中的元素，每对有序组合的隶属度和非隶属度之和小于或等于1。文献[5]提出了直觉模糊加权平均算子、直觉模糊有序加权平均算子和直觉模糊混合聚集算子。随后，文献[6]建立了直觉模糊加权几何算符、直觉模糊有序加权几何算符、直觉模糊混合几何算符等几何集合算符，并将其应用于评价信息为直觉模糊数的多属性群决策问题中。文献[7]基于阿基米德范数定义了直觉模糊广义运算法则，并构建了广义形式直觉模糊信息集成算子，探究了它们的一些常用算子形式。Vlachos 和Sergiadis[8]引入了直觉模糊交叉熵的概念，并且将其应用于模式识别、医疗诊断和图像分割中。

虽然直觉模糊集得到了广泛的运用，但是其有时候也会存在一些缺陷。比如，当专家提供的隶属度为0.6，非隶属为0.7 时，这种情况下就不能够运用直觉模糊集来表达专家评价信息。于是，作为直觉模糊集的扩展模糊集，毕达哥拉斯模糊集[9]就被提出，其虽然也是以隶属函数和非隶属函数为特征，但是不同于直觉模糊数，毕达哥拉斯模糊数中隶属度和非隶属度的平方和小于或等于1，因此毕达哥拉斯模糊数能描述更多的不确定信息[10]。类似于直觉模糊集，信息融合算法和交叉熵理论也是毕达哥拉斯模糊集理论的两个重要研究课题[11]。Reformat 和Peng 和Yang[12]构建了毕达哥拉斯模糊优劣关系排序方法来解决毕达哥拉斯模糊多准则组决策问题。Ren 等[13]提出了毕达哥拉斯模糊TODIM 多准则决策方法。Zeng 等[14]构建了一种混合方法应用于毕达哥拉斯模糊多准则决策问题。Garg[15]提出了一种新的广义毕达哥拉斯模糊信息聚集方法。Wei[16]利用算术和几何运算开发了一些毕达哥拉斯模糊交互聚合算子，其中包括毕达哥拉斯模糊交互加权平均算子、毕达哥拉斯模糊交互加权几何算子、毕达哥拉斯模糊交互有序加权平均算子、毕达哥拉斯模糊交互有序加权平均算子、毕达哥拉斯模糊交互混合平均算子、毕达哥拉斯模糊交互混合几何算子等等。文献[17]基于正弦函数和正切函数设计了两种毕达哥拉斯模糊交叉熵，然后建立相应的决策模型，并应用于绿色供应商的选择问题中，但是其中的交叉熵计算方法较为复杂。

综上分析可知，信息融合算法和交叉熵对于深入研究毕达哥拉斯模糊集理论具有重要作用。然而现有的这些融合算法缺乏考虑输入属性值间存在的内在关系，同时忽略了领导者在决策中的重要价值；另一方面，现有研究中信息集成算法较为单一，没有一个较为统一的融合形式。因此，本文首先定义了广义毕达哥拉斯模糊数运算法则，并结合几何Heronian 平均[18]，提出灵活性更高且能够挖掘数据关联性的毕达哥拉斯模糊几何Heronian平均算子，同时基于对数函数设计了计算方式较为简单的毕达哥拉斯模糊交叉熵，最后构建新的毕达哥拉斯模糊决策模型，并通过引进人才团队案例验证模型的可靠性。

2 预备内容

定义1[18]令ai≥0(i=1,2,…,n)，p,q ＞0，则称：

为a1,a2,…,an的几何Heronian 平均，简记为GHM。事实上，GDM 在对数据融合的过程中不仅可以挖掘它们之间的内在联系，还能够突出领导人在决策中的重要地位。

面对现实中的复杂决策问题，学者们通过引入毕达哥拉斯模糊集来对决策评价信息进行全面的概括。定义2[9]令Y={y1,y2,…,ym}是给定的方案集，则称：

为毕达哥拉斯模糊集，这里的μA(yi),νA(yi)均表示Y 到[0，1]上的函数，分别表示隶属度和非隶属度，且(yi)+(yi)∈[0,1]。为了便于计算，称αi=(μi,νi)=(μA(yi),νA(yi))为毕达哥拉斯模糊数，记Ω 为毕达哥拉斯模糊数集合。

现有成果中定义在毕达哥拉斯模糊信息上的基本运算法则大部分是基于代数运算或Einstein 运算得到的。为了扩大毕达哥拉斯模糊信息融合算法的使用范围和灵活性，丰富信息融合算法样式，下面将介绍新的毕达哥拉斯模糊数基本运算法则。

定义3 令α=(μ,ν),α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2) 均为毕达哥拉斯模糊数，定义新的基本运算法则：

这里的函数g(t)具有单减性，函数h(t)具有单增性，且h(t)=g(1-t)，h-1(t)=1-g-1(t)。

3 PFGHM算子的构建和基本性质

对于一列毕达哥拉斯模糊数，本章基于第2章中定义的基本运算法则和几何Heronian平均，提出毕达哥拉斯模糊几何Heronian 平均（PFGHM）算子，该算子在挖掘毕达哥拉斯模糊数关联关系和突出领导人重要地位的同时，还扩大了信息集成算子的灵活性。

定义4 令αi(i=1,2,…,n)为一组毕达哥拉斯模糊数，参数p,q ＞0，如果映射PFGHM:Ωn→Ω 满足：

则 称PFGHM(α1,α2,…,αn) 为 毕 达 哥 拉 斯 模 糊 几 何Heronian平均（PFGHM）算子。

定理1 令αi(i=1,2,…,n)为一组毕达哥拉斯模糊数，参数p,q ＞0，则运用PFGHM 算子集成的结果也是毕达哥拉斯模糊数，并且有：

证明（1）首先证明公式（4）成立。由于：

则

那么

所以

从而

（2）接下来证明运用PFGHM 算子集成的结果也是毕达哥拉斯模糊数。易知PFGHM 算子集成结果的隶属度和非隶属度均为非负数。下面将详细分析PFGHM算子集成结果的隶属度和非隶属度的平方和不超过1。

而g(t)和g-1(t)单调递减，h-1(t)=1-g-1(t)，所以

随后有：

于是

因此

则

那么

上式即表示PFGHM 算子集成结果的隶属度和非隶属度的平方和不超过1。

于是证明了定理1的结论正确。

接下来，将简单分析PFGHM算子一些性质。

性质1（幂等性）令专家给定的一列毕达哥拉斯模糊数αi=(μi,νi)(i=1,2,…,n)均相同，即αi=α,i=1,2,…,n，则有：

性质2（单调性）令αi=(μi,νi),βi=(φi,φi)(i=1,2,…,n)是两列不同的毕达哥拉斯模糊数，若μi≤φi,νi≥φi,i=1,2,…,n，于是：

性质3（有界性）令专家给定的一列毕达哥拉斯模糊数αi=(μi,νi)(i=1,2,…,n)，那么：

性质4（置换性）令{α′1,α′2,…,α′n}是{α1,α2,…,αn}通过随机排列后得到的毕达哥拉斯模糊数序列，那么：

PFGHM(α′1,α′2,…,α′n)=PFGHM(α1,α2,…,αn)（11）

4 毕达哥拉斯模糊交叉熵及其计算模型

不同信息环境下数据之间通常存在着一定的差异性，而交叉熵就是衡量决策信息间差异性的一种有效工具，其也是模糊信息测度中的一种较为常用形式。本文在构建模型的过程中，将借鉴TOPSIS 思想刻画备选方案和正负理想方案之间的差异程度。因此，本章首先提出了毕达哥拉斯模糊交叉熵的公理化定义条件，并结合对数函数构造出计算方法更为简便的交叉熵计算模型，该模型从隶属度和非隶属度两个角度进行设计，从而保证了交叉熵计算模型的可靠性和精确性。

定义5 假定α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2)是两个毕达哥拉斯模糊数，则称二元函数C(x,y)是毕达哥拉斯模糊交叉熵，如果其满足：

（1）C(α1,α2)≥0；

（2）C(α1,α2)=0 当且仅当μ1=μ2,ν1=ν2。

假设α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2) 都是毕达哥拉斯模糊数，基于对数函数，构建下面的信息测度公式：

定理2 通过公式（12）构建得到的信息测度c(α1,α2)是毕达哥拉斯模糊数α1和α2的交叉熵。

证明 在证明信息测度（12）满足定义5的两个条件之前，首先设计如下函数：

因此c(α1,α2)≥0。

（2）c(α1,α2)=0 ⇔

综上，证明了定理2的结论成立。

5 毕达哥拉斯模糊决策算法及其应用

5.1 决策模型

令Y={y1,y2,…,ym}和C={C1,C2,…,Cn}分别是决策问题中给定的方案集和指标评价属性集合。专家提供属性值信息运用毕达哥拉斯模糊数αij来表示。为了进行备选方案的优选，下面将运用本文提出的PFGHM算子和交叉熵模型构建一种新的毕达哥拉斯模糊决策算法。具体如下：

步骤1 依据专家提供的毕达哥拉斯模糊数评价信息，构造出毕达哥拉斯模糊决策矩阵P=(αij)m×n，并根据实际问题背景将矩阵P=(αij)m×n进行标准化处理，得到新的毕达哥拉斯模糊决策矩阵Q=(βij)m×n。

步骤2 运用PFGHM 算子将毕达哥拉斯模糊决策矩阵Q=(βij)m×n中的每一行属性评价值进行融合，生成备选方案对应的综合评价值βi(i=1,2,…,m)。

步骤3 运用公式（12）计算βi(i=1,2,…,m)分别与正理想方案α+=(1,0)和负理想方案α-=(0,1)的交叉熵c(αi,α+)和c(αi,α-)。

步骤4 计算备选方案yi(i=1,2,…,m)对应的综合评价值βi的贴近度：

步骤5 依据贴近度的大小，对备选方案进行优劣排序，并选择最优方案。

5.2 模型应用

为了加快实现高校双一流建设的目标，某高校人事部门依据建立的人才引进计划，拟引入一个人才团队。在众多应聘的人才团队中，该高校人事部门已对应聘团队的基本条件和业务水平进行了初步筛选，最后有四个人才团队{y1,y2,y3,y4}入围综合面试流程。为了对面试的人才团队进行综合素质考察，该高校人才引进小组将从以下四个方面对参与面试的人才队伍进行评估，分别包括：科研能力C1、教学能力C2、人才团队人员分布合理性C3以及科研规划C4。为了更为全面表示不确定评价信息，人才引进小组在评估时运用毕达哥拉斯模糊数αij进行了信息的表达，并构建了如下的毕达哥拉斯模糊数决策矩阵P=(αij)4×4：

步骤1 由于人才队伍的四个考核指标均为收益性，因此原始毕达哥拉斯模糊数决策矩阵P=(αij)4×4不需要进行标准化。

步骤3 运用设计的毕达哥拉斯模糊交叉熵计算公式（12）确定四个人才团队对应的综合属性信息αi(i=1,2,3,4)与正理想人才团队α+=(1,0)和负理想人才团队α-=(0,1)的交叉熵，计算结果如下：

步骤4 通过公式（14）计算得到四个人才团队综合评价值αi(i=1,2,3,4)的贴近度分别为：

Γ1=0.454 1,Γ2=0.547 8,Γ3=0.529 4,Γ4=0.487 3

步骤5 由于Γ2＞Γ3＞Γ4＞Γ1，那么这四个人才团队的综合素质优劣顺序为y2≻y3≻y4≻y1，因此建议该校人事部门聘请人才团队y2。

为了说明本文提出的PFGHM 算子的稳定性，接下来，令函数g(t)=（p=q=1），此时运用新的PFGHM算子形式，并结合毕达哥拉斯模糊交叉熵，计算得到四个人才团队的综合素质优劣顺序结果见表1。分析表1中的决策结果可知，当PFGHM 算子运用不同的函数g(t)进行计算时，最终得到的四个人才团队的综合素质优劣顺序结果相同，这也说明了本文提出的PFGHM算子的内在一致性。

表1 人才团队优选结果

为了说明构建的毕达哥拉斯模糊决策算法的合理性和有效性，下面将分别运用文献[19]和文献[17]中的算法模型处理上述的人才团队优选问题。文献[19]主要是依据设计的毕达哥拉斯模糊幂加权平均算子对专家的评价信息进行融合，并基于设计的算子构建一个毕达哥拉斯决策方法。文献[17]则通过正弦函数和正切函数设计了两个毕达哥拉斯模糊交叉熵计算模型，同时构造出毕达哥拉斯模糊决策方法。在分别运用文献[19]和文献[17]中的决策方法计算上述人才团队优选问题时，得到的最终结果详见表1所示。

通过表1中的决策结果可知，运用本文构建的决策模型与文献[19]和文献[17]得到的最优人才团队均为y2，这说明了构建的基于PFGHM算子和交叉熵的毕达哥拉斯模糊决策算法是合理的。进一步，深入分析表1中四个人才团队综合素质优劣顺序的结果可知，文献[19]中决策算法计算得到的结果与本文方法计算结果存在一定的差异，即人才团队y1和y4的优劣序不同。事实上，根据专家提供的原始毕达哥拉斯模糊决策矩阵P=(αij)4×4可知，y4对应的属性评价值大部分都高于y1对应的属性评价值，即y4≻y1，这与本文算法的计算结果相一致。另一方面，文献[19]中决策算法是运用毕达哥拉斯模糊幂加权平均算子进行信息的融合计算，其在计算过程中没有考虑到专家提供的评价信息之间存在相互联系的情形。因此，本文提出的决策模型更为合理可靠。

6 结束语

本文首先定义了毕达哥拉斯模糊数的新运算法则，然后将几何Heronian 平均融入到毕达哥拉斯模糊决策信息的集成过程中，提出了毕达哥拉斯模糊几何Heronian平均算子，该算子不仅能够挖掘输入属性值的内在联系，还可以突出领导者的重要存在价值；紧接着，运用对数函数设计了衡量毕达哥拉斯模糊数之间差异的交叉熵；最后，建立了新的毕达哥拉斯模糊决策模型，并通过高校引进人才团队实例进行了验证分析。本文在信息融合的过程中，仅考虑了属性权重相同的情形，因此，今后将基于信息熵设计合理可靠的属性权重计算方法以完善毕达哥拉斯模糊信息融合理论。