E－广义凸直觉模糊集①

2014-07-09李选海范传强

佳木斯大学学报（自然科学版） 2014年4期

李选海，刘锋，范传强

(1．海军大连舰艇学院，基础部，辽宁大连116018;2．东北大学，系统科学研究所，辽宁沈阳110004;3．辽宁石油化工大学理学院，辽宁抚顺113001)

0 引言

凸集及其性质是最优化领域的一个重要研究课题．同样，凸模糊集也是模糊数学中研究的一个热点．本文通过将 E －广义凸模糊集[1～4]、凹模糊集[5]和凸直觉模糊集[5～6]相结合，提出了 E －广义凹模糊集和E－广义凸直觉模糊集，从而推广了E－广义凸模糊集，并对它们的性质进行了初步研究，得到了一些好的理论结果．本文把现有的凸模糊集理论研究向前推进一小步，从而能引出一个相对较新的研究方向和领域，先行为解决未来出现的新问题提供理论支撑．

1 预备知识

定义 1．1[1]设 A ∈F(X)，设 λ，μ ∈[0，1]，且λ ＜ μ，∀l∈[0，1]，若存在E:X→X，使得∀x，y∈ X，有 A(lE(x)+(1－l)E(y))∨ λ≥A(E(x))∧A(E(y))∧μ，则称A为 E －(λ，μ〛一凸模糊集，简称E－广义凸模糊集．

定义1．2[5]设为n维欧氏空间，X的模糊子集A被称为凹模糊集，如果∀λ∈[0，1]，x，y∈X，有A(λx+(1－λ)y)≤A(x)∨A(y)．

定义1．3[5]设X为欧氏空问，若μA为X的凸模糊集且υA为X的凹模糊集，则称直觉模糊集(X，μA，υA)为X的凸直觉模糊集．

定理1．1[1]设A，B ∈ F(X)是广义凸模糊集，则A∩B是广义凸模糊集．

2 E－广义凹模糊集和E－广义凸直觉模糊集

定义2．1 设A ∈F(X)，设 λ1，λ2∈[0，1]，且 λ1＞ λ2，∀l∈[0，1]，若存在 E:X → X，使得∀x，y∈X，有 A(lE(x)+(1 －l)E(y))∧ λ1≤A(E(x))∨A(E(y))∨λ2，则称A为 E － (λ1，λ2〛一凹模糊集，简称E－广义凹模糊集．

定理2．1 设A，B∈F(X)是E－广义凹模糊集，则A∪B是E－广义凹模糊集．

证明: 设λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＞ λ2，∀l∈[0，1]，∀x，y∈ X，则有

因此，A∪B是E－广义凹模糊集．

定理2．2 设Ai∈F(X)，i∈I(I是指标集)是E－广义凹模糊集，则Ai是E－广义凹模糊集．

证明: 与定理2．1证明类似，故略．

定理2．3 设f为欧氏空间X到Y的可逆线性映射，若A∈F(X)是E－广义凹模糊集，则f(A)为Y上的E1－广义凹模糊集，其中E1:f(X)→f(E(X))为E:X→X的派生函数．

证明: 设λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＞ λ2，∀l∈[0，1]，∀y1，y2∈ Y，则有 ∃!x1，x2∈ X，s．t．f(x1)=y1，f(x2)=y2，

所以，

因此，f(A)为Y上的E1－广义凹模糊集．

定义 2．2 设 A ∈ IFS(X)，设 λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＜ λ2，∀l∈[0，1]，若存在E:X→X，使得∀x，y∈ X，有 μA(lE(x)+(1 － l)E(y))∨ λ1≥μA(E(x))∧ μA(E(y))∧ λ2，υA(lE(x)+(1 －l)E(y))∧(1－λ1)≤υA(E(x))∧υA(E(y))∨(1 － λ2)，则称A为 E － (λ1，λ2]一广义凸直觉模糊集，简称E－广义凸直觉模糊集．

定理2．4 设A，B∈IFS(X)是E－广义凸直觉模糊集，则A∩B是E－广义凸直觉模糊集．

证明: 设λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＜ λ2，∀l∈[0，1]，∀x，y∈ X，则有