2020年高考函数性质试题评析兼谈一轮复习思考

广东省中山市桂山中学 余铁青 528463

1 引言

函数的奇偶性、单调性、对称性都是函数的主要性质，其在宏观上反映了函数图像的整体对称性质，备受高考命题者的青睐．2020年高考全国卷对函数奇偶性的考查综合性较强，多与函数的单调性结合，着重考查函数与方程、数形结合、整体与局部、一般与特殊等数学思想方法.命题形式为选择题和填空题，且对部分试题寄予压轴和区分的功能.笔者通过对试题的分析、研究，总结、归纳了一轮复习开展该注意的问题与备考策略．

2 实例赏析

2.1 注重数学本质，考查概念的理解和运用

例1（2020年理科2卷9）设函数f(x)=ln||2x+1-ln||2x-1，则f(x)（ ）.

A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增

B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增

D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

解：直接利用函数的性质，“奇函数加奇函数为奇”，“增加增为增”的性质即可；又因为y=x3在R是增函数且为奇函数也是增函数且为奇函数，所以f(x)是奇函数，且在(0,+∞)是增函数．

评析：首先，这两题实质上围绕函数奇偶性概念精心设计问题，在直接考查概念的理解的基础上融入单调性的判断，检验学生对函数奇偶性数学本质的把握程度及理解水平，某种程度上可以说学生对函数奇偶性概念的理解程度决定了他们解题方法的选择；其次，不少掌握程度一般的学生会认为试题四个选项已经给定具体的奇偶性，就无需在再判断定义域究竟是什么，实际上这就是该题第一个巧妙之处.紧接着直接利用函数奇偶性的判定法则，确定该函数为奇函数；最后，在例2的解答过程中，很多学生可能会对函数求导，但运算量极大，容易出错（初级水平）；还有就是可能直接取区间里取两个数来判断相应函数值大小（中级水平）；考虑对称区间取值相对而言最简单（高级水平）实际上在这三个层次决定了解题速度，也是从侧面考查学生思维层次的一个很好的手段．

2.2 依托具体函数，设计为分段函数形式

例3（2020数学江苏卷7）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时的值是_____.

评注：此类试题以具体函数为依托，设计为分段形式的奇、偶函数；主要考查对函数奇偶性概念的理解和运用、奇偶性函数性质等，试题往往与单调性等综合将未知转化为已知是解题的基本思想方法.方法一的主要问题在于学生还停留在表面，如果指数运算能力不强，概念理解不到位就会出现各种各样的错误；方法二直接利用性质巧妙避开求具体解析式的过程，理解深刻的学生要准确避开这个问题，力求达到准确，简洁，高效.在看似常规的试题中对学生还是进行了实际的有效分层，有效考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，这也间接解释了为何总有中等学生做不完试卷．

2.3 设计具体函数，利用解析式研究函数切线与零点问题

例4（2020理科一卷6）函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1) )处的切线方程为（ ）．

A.y=-2x-1B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

解：∵f(x)=x4-2x3，∴f′(x)=4x3-6x2，∴f(1)=-1，f′(1)=-2，因此所求切线的方程为y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1.故选：B.

评注：本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题．

例5（2020北京高考6）已知函数f(x)=2x-x-1，则不等式f(x)＞0的解集是（ ）.

A.(-1,1) B.( - ∞,-1)⋃(1,+∞)

C.(0,1) D.( - ∞,0)⋃(1,+∞)

解：直接画出y=2x和y=x+1在同一直角坐标系的图像，显然有两个交点.分别是(0,1)和(1,2)，由f(x)＞0，即y=2x的图像在y=x+1之上，直接选D.

评析：该题主要意图应为考查学生的草图能力.实际上根据以往学生解题经验，直观看出当自变量为零时函数值也为零，当自变量为一时函数值也为零，配合草图瞬间秒杀．相反，若从零点和单调性进行处理，反而会使整个解题陷入被动，出现计算量大的弊端，甚至最终解题失败，那么在实际教学过程中应加强对草图的直观感知，训练解题能力．

2.4 设计试题以三次函数为载体，考查学生分类讨论思维能力

例6（2020浙江高考9）已知a,b∈R,且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，则（ ）．

A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0

解：因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，设f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)，则f(x)的零点为x1=a,x2=b,x3=2a+b，当a＞0时，则x2＜x3，x1＞0，要使f(x)≥0在x≥0上恒成立，必有2a+b=a，且b＜0，即b=-a，且b＜0，所以b＜0；当a＜0时，则x2＞x3，x1＜0，要使f(x)≥0在x≥0上恒成立，必有b＜0．综上一定有b＜0．故选：C

评注：本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想．主要关键点是对a分a＞0与a＜0两种情况讨论.一方面细分之后发现情况较多，学生必须保持思路清晰，才能严谨的得出答案.另一方面是对基本草图的把握十分重要，学生如果不会草图，对图像的形态会缺乏基本认知，对于整体的分析不利，这也与课标（2017）里面所提及的直观想象素养与逻辑推理素养以及运算素养的培养不谋而合．

2.5 设计类对称性函数结构，迁移构造函数，利用单调性解决问题

例7（2020全国理科一卷12题）若2a+log2a=4b+2log4b，则（ ）．

A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

解：由2a+log2a=22b+log2b＜22b+log22b（此处准确使用放缩是解题关键之所在）考虑构造函数f(x)=2x+log2x，此函数显然是增函数，于是答案选择B.

评注：作为今年的压轴选择题，这题略显简单，该题实质上出自浙江省2012年高考试题的变形，两者之间有着异曲同工之妙！该题使用类似对称性的函数结构，使函数的对称性内隐于函数解析式，要求学生理解知识间的关联，洞察函数结构的对称性，迁移奇函数的对称性，利用放缩巧妙构造新的函数，结合单调性的思想解决问题，考查学生运用知识解决问题的能力，本质上具有很强的综合性，较好的体现了高考评价体系里面所提及的能力立意．

3 一轮复习备考策略思考

3.1 认真研读高考政策性指引文件，深刻解析教材练习题

在备考教学中笔者身边很多教师都是一本复习书走天下，这其实走进了一个特别大的误区.复习资料的编写依据是高考试题导向与教材.市面上所有一轮复习教材实际上的编写时间都是早于当年的高考时间的，例如2021届的高考一轮复习资料的编写出版时间是早于2020年高考时间的，这就会出现一个无法回避的问题，不可能参考当年的高考试题进行优化编写，那么这样编写的复习用书相对于在领会高考题精神之后再来编写的资料而言，方向性的把控就没有那么准确.在这种实际备考教学背景下，笔者认为还是要认真钻研考纲、中国高考评价体系和当年的高考年报等政府官方指导性文件.从中去发现国家需要什么样的人材，那么我们就培养什么样的人材，做到有的放矢．同时在一轮复习中，强调教材的基础性作用，所有的复习书都离不开教材的原始素材，所以夯实基础，深研教材练习题，与复习用书有机结合是有利于科学备考的．

3.2 重视基础知识累积，常规题型训练，形成完整的知识网络

针对2020年的高考真题研究不难发现这样一个事实：所有函数性质试题都是基于函数单调性基础上设计的，而在函数诸多性质中，笔者也认为单调性所呈现的数学美感和数学函数变化的本质体现的最为淋漓尽致，这或许就是今年高考着重考察的根源所在.要想很好的突破这些试题，首先必须要准确掌握基本的思想方法，实际上就是人们经常所说的“套路”！在积累扎实的基础知识和基本解题策略时，将它们通过习题训练进行有效连接，形成详实的知识网络，这样能够有效打开学生的解题视野，从容应对一些常规试题，甚至部分具有创新背景的试题，以不变应万变．

3.3 构建区域特色教学研究团队，定期研讨教学实践优化策略

目前很多地方都热衷于抱团发展，建设属于自己的区域学校联合协作体，基本上实现了定期联合测试．

基于协作体内学校层次的基本统一性，积极发挥各自优势，构建资源互补型的常态化教研氛围，收集整理各自学校所出现的问题，进行联合诊断分析.把最新的备考信息与学校本身实际情况相结合，共同研讨有效筛选做最新模考试题，及时根据学情、考情调整授课进度，速度，控制难度等，实现资源最大程度优化配置．

3.4 加强运算能力的培养，规范答题

数学从字面上理解就是研究数学变化的学科.数学一旦离开运算就会失去原本数学所特有的运算化简美感．从函数小题的考查情况来看，运算能力依旧是考查的重点．在实际教学考试中，尤其是三角函数板块内容，很多学生往往会忽视运算问题，总是简单地认为，理解清楚了逻辑就可以了，运算经常被有意或无意的淡化，而从统计结果来看，很多试题最后求解不正确，往往是失分在运算处，这是很多学生一直以来的痛点！教师在备考过程中要强调学生的运算能力的培养，注重板书的完整性.

3.5 着力留意主流模拟试题中的创新题，研究出题背景与考查意图

高考刚刚结束，笔者就在网上看到有人说：“物理有一道大题与某套试卷完全一样，连数据都没有改”．当看到这个消息之后，首先是一惊，其次是认为准确选择模考试卷也是十分重要的，试卷千千万，质量高的，导向性明确的应首选国内主流模考卷，而高考试卷命题人在命制试卷时，基于能力立意的考查实际，必定有部分试题是绝对的“原创创新题”而这些试题的问题背景是值得一线教师认真分析的，考查的是什么知识点？考查学生什么能力？以何为命题背景？等等．