球坐标换元法的应用探究
2020-03-09湖南省怀化市湖天中学宋林洁418000
湖南省怀化市湖天中学 宋林洁 418000
湖南省会同县第一中学 于先金 418300
普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4-4《坐标系与参数方程》（人教A版）介绍了球坐标，空间中点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为：若x2+y2+z2=r2(r≥0)，则有
其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地，当点P在第一卦限，即当x＞0，y＞0，z＞0时，有
对球坐标换元公式①的应用，往往被我们所忽视，其实若能恰当运用这一换元公式，并结合三角恒等变形等，对一些三元问题的解答会显得新颖，别具一格，耐人寻味.
1 最值问题
例1（2015年福建高考理科第21（3）题）已知a，b，c＞0，函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(Ⅰ)求a+b+c的值；(Ⅱ)求的最小值.
此时a=4sin2φcos2θ=(1-cos2φ)⋅(1+cos2θ)
例2 （2009年高中数学联赛浙江预赛）若x，y，z均为实数，且x2+y2+z2=1，则最大值为____.
解：因为x,z,y均为实数，且x2+z2+y2=1，由公式①得x=sinφcosθ，z=sinφsinθ,y=cosφ，其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.所以立.故2xy+yz的最大值
此时a=4sin2φcos2θ=(1-cos2φ)⋅(1+cos2θ)
解：因为x,z,y均为实数，且x2+z2+y2=1，由公式①得x=sinφcosθ，z=sinφsinθ,y=cosφ，其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.所以立.故2xy+yz的最大值
2 范围问题
综上可知，x2+y2+z2的取值范围为
解法2：（从条件出发球坐标换元）由x＞0，y＞0，z＞0且x+2y+3z=1，可令
3 证明不等式
例4（2013年高考新课标Ⅱ卷第23题）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：ab+bc+ca
证明：因为a+b+c=1，所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1.显然欲证ab+bc+ca只需证
设a2+b2+c2=r2（r＞0），由公式①得a=rsinφcosθ，b=rsinφsinθ，c=rcosφ，其中0＜φ，θ＜.代入a+b+c=1得=sinφcosθ+sinφsinθ+cosφ=2sinφsin(θ+取等号.所以.所以ab+bc+
3个变量的最值、取值范围、不等式证明等问题是近几年高考和竞赛的热点之一，根据x2+y2+z2=r2这一结构特征，若用球坐标换元公式①，则可将3个变量的问题转化为2个变量的三角问题，再将其中一个变量视为主元，通过三角恒等变形和不等式放缩等技巧，将2个变量的三角问题进一步转化为单变量的三角问题来解决，整个过程虽然运算量较大，方法不一定最简洁，但规律性、可操作性强，对问题本身的解法探究，对学生逻辑思维、计算等能力的培养是大有益处的.
以下问题，可供读者思考：
1.（2013年湖南高考理科第10题）设a，b，c∈R，且满足a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为____（.答案：12）
2.已知正数x,y,z满足x2+2y2+z2=1,则的最大值为____（.答案：
3.已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求a2+b2+c2的取值范围.（答案
