一次函数解析式中神奇的参数

在一次函数的大家庭中，有这样一种形式的解析式，在对它进行探究的过程中，给我们以惊喜。

【问题】无论k取何值，直线y=kx-k都经过一个定点，求这个定点的坐标。

我们不妨先任取几个k的值，作出图像：

如图1，分别取k的值为1，-2，1/2，得直线l₁，l₂，l₃，解析式分别为l₁：y=x-1，l₂：y=-2x+2，l₃：y=1/2x-1/2。由图可知，三条直线都经过同一点（1，0）。把（1，0）代入y=kx-k中成立，由此可知无论k取何值，直线y=kx-k都过定点（1，0）。

那么，能否从代数的角度去分析，得出这个结果呢？我把原式改写为：y=（x-1）·k。若k的值发生改变，则点的坐标也发生改变。而题为“求一定点”，故当x取某个值时，无论k取何值，y总有固定不变的取值。而这种情况，只有当k前“系数”为零时才能满足，即x=1，y=0。故其经过定点（1，0）。

来个相关变式题，看你能接招不？变式：求原点到y=kx-3k+2的最大距离。

怎么样？啊？还不过瘾？那再来一个，“头脑风暴”再次开始。接招：如图3，已知直线l₁：y=-2x+4与直线l₂：y=kx+b（k≠0）在第一象限内交于点M，若直线l₂与x轴的交点为A（-2，0），则k的取值范围是__________________。

一种思路，从临界位置考虑，直线l₂分别过“临界点”（0，4）和（2，0），再由（-2，0）这一点，分别求出对应的两条直线解析式，这样由“数形结合”便能得出k的取值范围。

我们也可利用前两题所得结论：当x前的系数与常数用同一参数表示时，该直线必经过一个定点。倒过来说，若其经过一个定点，则x前的系数与常数可用同一参数表示。此题中直线l₂过一定点（-2，0），可设l₂：y=（x+2）k，即y=kx+2k，则它与y轴的交点为P（0，2k）。因为它与l₁的交点在第一象限，则0<2k<4，所以0

神奇的参数，确实能带来神奇的解法！

老师点评

“从特殊到一般”“找共性”，这一研究问题的基本思路，翟远航同学在本题中进行了很好的演示。不僅如此，他还善于总结、反思、类推。在平时的学习过程中，大家若能做到凡事探个究竟，找出问题的本质所在，那么也可以做到“举一反三”，达到“会一题，通一片”的学习效果。