长短波方程的两个守恒型紧致有限差分格式

蒋佳平, 王廷春

(南京信息工程大学数学与统计学院，南京 210044)

1 引言

长短波方程是无穷维动力系统中一类重要的共振模型，用来描述流体力学中的长短波相互作用，也被用来描述重力和毛细管的波模型[1,2]，此外，该方程的研究在等离子物理学[3]中也有广泛应用．长短波方程在描述长波和短波的共振时，短波通常用薛定谔方程描述，而长波则常用带有色散项的波方程描述[1]，其数学形式为

其中参数λ, α, ε 是三个正常数，短波曲线u = u(x,t)是未知的复值函数，长波振幅v =v(x,t)为未知的实值函数，外力项f 和g 分别为已知的复值和实值函数，其在很多物理问题取值为零．我们考虑长短波(LS)方程的初边值问题，其初边值条件为

其中u0(x)和v0(x)分别为已知的复值和实值函数．

不难验证，当外力项f(x,t)=0, g(x,t)=0 时，初值问题(1)–(4)满足总质量与总能量守恒律

文献[4–7]中已给出关于长短波方程初值问题的精确解及其性质的研究，其中Guo[5]讨论了关于长短波方程的全局解，Tsutsumi 和Hatano[7]研究了关于长短波共振方程柯西问题的适定性．近年来，许多数值方法被用于求解长短波方程，其中包括有限元法、谱方法、有限差分法等．Liu 和Lv[8]提出了关于长短波方程的一类拟谱方法．Chang 等[9]也提出了一些数值格式，包括Crank-Nicolson 隐格式(CNI)，三层Richardson 外推格式以及分裂步谱方法．由于高阶紧致有限差分格式[10-16]通常能保持较高的精度和分辨率，经常被用来计算难以直接求解的偏微分方程(组)．王兰和段亚丽[10]首次对LS 方程给出了几个高阶紧致差分格式，包括一个能量守恒格式和几个非守恒格式，所有格式对短波曲线函数的数值解在空间方向上都达到了四阶收敛精度．本文在上述文献的基础上，进一步对LS 方程构造出两个四阶紧致有限差分格式，使短波曲线函数与长波振幅函数收敛精度在空间方向上均达到四阶精度，时间方向达到二阶精度，并且能在离散意义下保持原问题的两个守恒性质．

本文的结构如下：在第2 部分中，我们提出了两个关于LS 方程的紧致有限差分格式，并证明两个格式在离散意义下均保持原问题的两个守恒律．在第3 部分中，我们给出了几个数值实验，数值结果表明我们的格式在空间方向和时间方向分别具有四阶和二阶精度，同时验证两个格式都非常好地保持总质量和总能量守恒．在第4 部分中，我们给出了结论．

2 有限差分格式和守恒律

取空间步长和时间步长分别为h = (b −a)/J 和τ = T/N，其中J 和N 是两个正整数．令 (xj,tn) = (a+jh,nτ), j = 0,1,2,··· ,J, n = 0,1,2,··· ,N 为网格点．记分别为(u,v)在点(xj,tn)处的数值解和精确解，记分别为v 在点处的数值解和精确解．定义网格函数空间Xh为

关于紧致算子Ah, Bh和负拉普拉斯算子，我们引入如下三个三对角矩阵

同时，有

定义网格函数空间Xh中的离散内积和离散范数如下

本文需要用到如下引理：

引理1[16]对称正定矩阵A, B 和H，我们有如下结论：

(a) 矩阵A, B 和H 是三个对称正定矩阵，且具有如下特征

(b) 它们有相同的特征向量，即

由(7)及引理1，可得

引理2[16]对任何un∈ Xh, n=0,1,··· ,N，我们有

其中Re(w)表示w 的实部．

分别用紧致有限差分法和Crank-Nicolson 离散方法对未知函数在空间和时间两个方向的导数进行离散，可得初边值问题(1)–(4)的如下紧致有限差分格式，即：

格式1

格式2

与原问题(1)–(4)的齐次形式保持总质量和总能量守恒相对应，格式1 与格式2 在离散意义下也保持总质量和总能量守恒．

引理3格式1 在离散意义下保持原问题的两个守恒性质，即总质量和总能量守恒

证明 将(13)式与Un+1+Un做内积并取虚部，可得

由此可得离散意义下的总质量守恒律(20)．

将(13)式与Un+1−Un做内积，运用引理(8)，取实部得

将(14)式与|Un+1|2−|Un|2做内积，可得

对于(25)式左边部分，我们有

对于(25)式右边部分，结合边界条件，有

将(26)和(27)带入(25)，可得

将(28)和(24)分别乘以1/2 和2，然后将两者相加可得

由此可得离散意义下的总能量守恒律(21)．

类似证明可得格式2 所满足的两个守恒性质，即：

引理4格式2 在离散意义下保持原问题的两个守恒性质，即总质量和总能量守恒

3 数值实验

便于检验格式的整体精度，我们引入如下记号

3.1 数值算例1

本例中，我们取ε=α=λ=1，考虑长短波(LS)方程如下

其边值条件为

初值条件为

上述初边值问题具有以下精确解

测试空间方向的精度时，我们取时间步长τ = 0.0001，从而可以忽略时间方向的误差，同样在测试时间方向精度时，我们取空间步长h = π/100，从而可以忽略空间方向的误差．在表1 和表2 中，我们分别列出了格式1 在t=1 时，空间与时间方向的误差数值结果．而在表3 和表4 中，我们则列出了格式2 在t = 1 时，空间与时间方向的误差数值结果．在表5 中，我们将格式2 与文献[10]中的格式做了精度比较，图1 和图2 我们分别展示了un和vn在不同时间层下精确解和格式1 数值解的变化．

表1: 格式1 在t=1 时刻取不同空间步长时关于空间方向的精度测试

表2: 格式1 在t=1 时刻取不同时间步长时关于时间方向的精度测试

表3: 格式2 在t=1 时刻取不同空间步长时关于空间方向的精度测试

表4: 格式2 在t=1 时刻取不同时间步长时关于时间方向的精度测试

表5: 格式2 与WDFD 格式精度比较

图1: un 在不同时间层下解的变化：左图为精确解，右图为数值解，其中h=π/100, τ =0001

图2: un 在不同时间层下解的变化：左图为精确解，右图为数值解，其中h=π/100, τ =0001

3.2 数值算例2

为了验证格式1 与格式2 在离散意义下的总能量和总质量守恒律，我们令算例1 中的f =0 和g =0，取计算区域为[0,π]×[0,100]，并将数值结果列于图3 至图6．

图3: 格式1 的能量守恒性：左图为不同时间层总能量，右图为不同时间层总能量与初始值的误差

图4: 格式1 的质量守恒性：左图为不同时间层总质量，右图为不同时间层总质量与初始值的误差

图5: 格式2 的能量守恒性：左图为不同时间层总能量，右图为不同时间层总能量与初始值的误差

图6: 格式2 的质量守恒性：左图为不同时间层总质量，右图为不同时间层总质量与初始值的误差

3.3 数值算例3

长短波方程可以描述物理中的孤立波现象，为此，我们添加算例3 用以模拟孤立波的演化，本例中我们考虑如下长短波(LS)方程

实验中我们采用的是格式1 进行计算，取时间T = 5 时，时间为步长τ = 0.01，空间步长为h=π/10，并将数值结果列于图7．

图7: 方程的初始解与T =5 时刻的数值解

从表1 至表4 的数值结果中，清楚地表明本文提出的两个格式在空间方向和时间方向分别具有四阶和二阶精度．图1 和图2 则显示数值解与精确解几乎一致．由表5 则可以看出，格式2 相比WDFD 格式在计算精度上有显著提高．图3 至图6 表明格式1 和格式2 在离散意义下保持原问题的总能量和总质量守恒，这与引理3 和引理4 的结论相符．图7 模拟了孤立波的演化现象．

4 结论

本文对一类长短波方程组提出了两个紧致有限差分格式，即格式1 和格式2，两格式的主要区别在于对非线性项采取了不同的离散方法，但它们均在离散意义下保持总质量和总能量守恒．数值实验表明，两个格式在时空分别具有二阶和四阶精度，具有很好的稳定性而且很好地保持了原问题的两个守恒性质．同时，数值算例还成功模拟了孤立波的演化过程．