错误不纠正，考后两行泪

张雷

[摘  要] 填空题在江苏省高考数学卷中占有较大比例，通过对学生在填空题中出现的各种错误的分析和归因，提出具体应对办法，以期提高学生解答此类题型的准确率.

[关键词] 填空题;常见错误;辨析;对策

■问题的提出

江苏省数学中的填空题，因其分值高，考试内容广泛，一直为师生所重视. 该题型仅有一条下画横线来填答案，真可谓“方法千百条，做对第一条”. 在教学过程中，我们发现该题型的错误率较高. 尽管平时教师一再强调纠错，但学生仍会在考试中出现各种错误. 每次考试后，总会有学生痛心疾首：要么这题看错了，要么那题算错了，要么该用的公式忘记了，等等. 虽说错误与学习总是相伴的，甚至是如影随形，但作为教师应精准地分析学生在填空题上出现的各种错误，化错为宝. 笔者以学生在填空题上出现的各种问题为例，尝试分析其出错的原因，提出有效纠正的对策.

■案例与分析

1. 粗枝大叶，丢三落四？摇

例1：（1）设全集U={xx≥2，x∈N}，A={xx2≥5，x∈N}，则CUA=________.

正解：U={xx≥2，x∈N}，A={xx≥3，x∈N}，所以CUA={2}.

常见错误：忽视了“x∈N”这一条件，导致结果为[2，■）. （备注：本题是苏州市2016年高三上学期期末考试填空题的第一题，全班错误率竟然高达近三分之一！考后师生都震惊了. ）

（2）若椭圆■+■=1的离心率e=■，则k的值等于________.

正解：本题分k+2>4与0

常见错误：看到解析式，直接默认椭圆的焦点在x轴上，以为k+2>4，算出k=■了事，忽视了椭圆的焦点在y轴上的情形.

（3）若直线y=x+b与曲线x=■恰有一个公共点，则实数b的取值范围是________.

正解：先将x=■两边平方，得到曲线方程：x2+y2=1（x≥0），再利用数形结合方法可得-1

常见错误：有学生把曲线方程化为x2+y2=1后，以为是一个完整的单位圆，忽视了隐含条件“x≥0”，因为所作图像不正确，导致结果错误.

评析：这种因疏忽遗漏致错的情况很常见，考试时不少学生心浮气躁，盲目追求速度，轻视前面的基础题，想留足时间做后面难度大的题目，导致这些基础填空题一看就会，但一做就错. 教师有时在课堂上为追求讲解速度，会代替学生包办审题过程，使得学生在审题时容易蜻蜓点水走过场.

对策：教育学生做题要心态平稳，审题要仔细. 建议至少读两遍题目，看清题意，并且勾画出关键词，明察题目中的隐含条件，两遍审题下来无异议再动笔. 用数形结合法解题需要结合准确的图像，否则会导致数“多”于形或数“少”于形的错误.

2. 先入为主，感性至上

例2：（1）用数学归纳法证（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×5×…×（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是________.

正解：（2k+1）×（2k+2）÷（k+1）=4k+2. 所以答案是4k+2.

常见错误：凭直觉以为所添的项“（2k+1）×（2k+2）”就是答案，殊不知首項也发生了变化，是k+2而不是k+1.

（2）函数f（x）=■的零点个数是________.

正解：■′=■=0，所以lnx=■，所以x=■. 当00，所以f（x）单调递增;当x>■，则f（x）′<0，所以f（x）单调递减. 由数形结合，函数f（x）=■有一个零点.

常见错误：正确得出函数f（x）=■的单调性后，以为该函数理所当然有2个零点，岂料x→+∞时，f（x）>0，不可能与x轴有交点.

评析：有些学生认知结构欠缺，逻辑不严谨，只看到了内心期望看到的东西，利用非等价转化解题，又缺少等价性检验，导致解题时直觉当先，即根据感觉就近（知识点、题型）切入，不进行深入思考，结果失误频发.

对策：教师应让学生明白：解题时需少目测，多动笔，其中一些步骤不应只凭想象来代替求解过程，应用严谨的态度把题目做完整、到位. 平时教学中不仅要重视学生对基础知识、基本方法的熟练与完整应用，还要多举一些实例提问，比如：两个实数a>b，那么■<■就一定成立？两直线不相交，那么就一定平行？使学生养成理性探究问题的习惯.

3. “双基”不牢，任性胡来？摇

例3：（1）已知函数f（x）=x2+mx+lnx是单调递增函数，则m的取值范围是_____.

正解：f′（x）=2x+m+■=■≥0，因为x>0，所以2x2+mx+1≥0，mx≥ -2x2-1，所以m≥-2x-■■=-2■.

常见错误：认为函数求导的结果大于0，得到2x2+mx+1>0，结果为m>-2■，说明基础知识不过关.

（2）函数f（x）=log■（-x2-2x+3）的单调递增区间是________？摇.

正解：由-x2-2x+3>0得到x∈（-3，1），而y=log■x在定义域上是单调递减的，根据复合函数的单调性，f（x）的单调递增区间为（-1，1）.

常见错误：①不注意真数部分为正，缺失“-x2-2x+3>0”的计算;②外层函数单调递减，有学生认为递增;③对复合函数的单调性性质“同增异减”的掌握不牢，弄成“同减异增”了.

评析：学生产生错误的一个重要原因是概念与原理比较模糊，知识形成的过程不清楚，知识适用的条件不明确，导致其不按章法而任性做题. 这里面教师通常也有一定责任，比如为了赶进度而淡化概念原理的生成过程，甚至直接去灌输，让学生机械地背公式. 学生囫囵吞枣，致使运用中常会出现问题. 数学毕竟是思维的学科，对概念不求甚解，就难以获得题目的要求与知识点的准确联系.

对策：教师要重视教学过程中知识点的生成过程，摈弃“理论不够，记忆来凑”的做法，根据学生的基础与认知，肯花时间，进行真实的数学活动与数学情境，让学生自然又清楚地理解、掌握概念、公式、原理，不仅知其然，也知其所以然. 此外，重要的知识点要重点圈出，强化学生记忆，从而达到准确运用的效果.

4. 指鹿为马，生搬硬套

例4：（1）若正数x，y满足x+y=1，则■+■的最小值是________.

正解：■+■=■+■+4≥8，当且仅当■=■，即y=2x，x=■，y=■时等号成立.

常见错误：变形到■+■=■+■·（x+y），再展开后就无法进行下去了，主要是学生受一类固定题型“若正数x，y满足x+y=1，求■+■的最小值”的影响，机械模仿之故.

（2）等差数列{a■}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为________.

正解：由S■，S■-S■，S■-S■也成等差数列，所以2（S■-S■）=S■+（S■-S■），所以S■=3（S■-S■）=210.

常见错误：由{a■}是等差数列，将S■，S■，S■误解为成等差数列，从而做错.

（3）若方程■+■=1表示双曲线，则k的取值范围是________？摇.

正解：由双曲线的方程的定义，得（k-2）·（5-k）<0，所以k-2>0，5-k<0或k-2<0，5-k>0，可得-25.

常见错误：采用了两个分母分别大于0，且（k-2）≠（5-k），显然是和椭圆方程相混淆了.

评析：暴露出一些学生对相似的知识点容易混淆，只看到题目的表象就开始运用已有经验进行解题，不加区别去照搬，是一种思维惯性的现象. 虽说思维定式有助于人们进行类比思维，从而更加顺利和快捷地解决部分问题，但容易使学生盲目地运用经验和习惯来对待一些貌似而神异的问题，造成解题错误.

对策：在学习新的知识点时，应提前考虑到学生可能受到旧知识点的影响，做好干预，把它们的区别和联系指出来，避免随意套用. 比如数列中的等差数列与等比数列，抽样方法中的系统抽样与分层抽样，圆锥曲线中的椭圆和双曲线，以及一些情境类似的题型，等等. 教师在教学中，要求学生一定要具体情况具体分析，并不能用一种方法解决所有问题.

5. 思路不宽，策略缺乏

例5：（1）函数f（x）=lgx-1+■的零点个数是________.

正解：转化为求两个函数y=lgx-1与y=-■的图像的交点个数问题，由数形结合知道答案为3.

常见错误：①主要是没想到上述的转化思想，直接考虑用求导数的方法来研究该函数的单调性了，因真数含有绝对值，故需要讨论x<1，x>1两种情形，致使其陷入了繁杂的计算过程而做不出来;②对y=lgx的图像是熟悉的，但对y=lgx以及y=lgx-1掌握得不好.

（2）正方体ABCD-A■B■C■D■的棱长为2■，则四面体A-B■CD■的外接球的体积为________.

正解：由于四面体A-B■CD■与正方体ABCD-A■B■C■D■有相同的外接球，故（2■）2×3=（2R）2，所以R=3，所以V=■πR3=36π.

常见错误：单独对四面体A-B■CD■进行外接球的计算与研究，没有借助正方体外接球的作用，把问题复杂化了，难以解出.

（3）一根2米的竹竿AB斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一个平面内移动，当竹竿的下端点A从距离墙角O点1米的地方移动到■米的地方，则AB的中点D经过的路程为________.

正解：令D′是竹竿移动后D的对应点，由△OAB是斜边为2的直角三角形，所以OD=OD′=1，所以D是以O为圆心，半径为1的圆弧上的一点，易得∠DOD′=■，所以由弧长公式可得路程为■×1=■.

常见错误：学生的思维局限在研究动态的直角三角形上，不懂变通，没有从OD=OD′=1入手转化为求圆的轨迹问题.

评析：一个数学问题的求解策略有很多种，好的策略会使得解题过程简洁明快，差的策略由于产生了曲折的思维回路，费时又费力. 现实中，一些学生解题的思路狭窄不活络，不会从多个方面切入，或者思考角度不当，增加了求解的难度和长度，从而陷入困境. 而数学是一种思维的体操，只有动脑思考了，才能做好题.

对策：教师应重视学生探究题的训练，并善于进行迁移，通过一题多解、举一反三让学生拓宽思路，发散思维，对学生解题的一些奇思妙想加以鼓励和引导，养成学生爱思考、爱动脑的习惯，善于透过现象看出本质. 这样既有利于学生发现题目所含的知识点，也有利于学生发现出题人的考查意图，从而找准解题的正确方向，提高和优化学生解决中高档题的能力.

6. 缺乏毅力，半途而废？摇

例6：平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：■+4y2=1的左、右焦点分别为F■，F■.若直线l：y=kx+1与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF■交y轴于点Q，则以PQ为直径的圆与点F■的位置关系是________.

正解：由■+■=1，y=kx+1得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2-a2b2=0（*），则Δ=（2ka2）2-4（b2+a2k2）（a2-a2b2）=0，化简得1-b2-a2k2=0. 又a2=■，b2=■，所以k2=■=1﹒ 因为点P在第二象限，所以k=1. 把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，解得x=-a2，从而y=b2，所以P（-a2，b2）. 又F■的坐标为（c，0），从而直线PF■的方程为y-b2=■（x+a2）. 令x=0，得y=■，所以Q0，■﹒又F■的坐标为（-c，0），从而■=（-a2+c，b2），■=c，■，从而■·■=c（-a2+c）+■=■=■. 又因为a2+b2=1，a2=b2+c2，所以b2-a2=-c2，所以■·■=0，所以点F■在以PQ为直径的圆上﹒？摇？搖

常见错误：①没有准确地化简到（*）式;②Δ=0的式子没有化简到位;③没有算出k=1;④■·■后面的展开式算不下去或者算错.

评析：高中阶段的考试对运算要求较高，特别是解析几何题. 一些学生虽有正确的解题思路，但眼高手低，在遇到较复杂的计算问题时有畏难情绪，缺乏战胜困难的意志，心理层面产生了厌烦与紧张，以至中途放弃. 长期下去这也直接影响、制约、阻碍了学生的学习积极性和主动性以及解决数学问题的效率，这就需要学生培养扎实的基本运算功夫. 有时教师为追求讲解速度常常代替学生计算，或经常跳步以回避复杂的计算，这是“重方法，轻计算”的做法.

对策：讲解繁杂的计算题时，注重展示完整的解题过程，从分析运算条件、探究运算方向、估计范围到选择运算公式乃至遇到障碍时如何调整运算，各个步骤都要讲解并书写到位，而且要探索简便变形的方法. 有时可请学生到黑板上计算，直接暴露他们普遍存在的计算问题，当场予以指导解决，使学生不仅能积累运算经验和信心，还有助于培养坚强的意志.

■结束语

本文对高中生解决填空题出现的解题错误进行了归类辨析及对策. 客观上，高中生在面对数学时是存在一定困难的，出现各种错误也是很难避免的. 但爱因斯坦说过：“一个人在科学探索的道路上走过弯路犯过错误并不是坏事，更不是什么耻辱，要在实践中勇于承认和改正错误. ”

教师应善待学生在学习过程中所犯的错误，并且要视之为宝贵的学习资源. 在平时教学中，做好应对策略，进行提前干预，启发探究和解后反思. 长期坚持下去，学生做填空题不仅是一个吸取教训、积累经验的过程，更是一个收获希望、逐步提高解题能力的过程.