基于马扎诺教育目标分类学的习题设计探究——以中学数学新授课课后习题设计为例

彭康泰

(广东省第二师范学院数学系)

习题是帮助学生巩固所学知识，提高解决问题能力的有效方法之一。目前，无论是在课堂上还是在课后，大部分教师都是通过布置习题来巩固知识，提高学生的能力。在中学数学新授课的教学中，课后习题设计的重要性不言而喻，不过目前课后习题设计依然存在诸多问题：一是习题设计一刀切，兼顾学生的个体差异不够；二是多数习题基于知识点的难易程度和考查知识点的数目来设计，较少针对培养学生的素养和能力来设计，目标不够明确；三是习题缺乏新意，题型较为固定，趣味性不足，学生难以体验到做题的乐趣。以马扎诺教育目标分类学思想做指导，探究中学数学新授课教学如何进行课后习题设计，可以为解决这些问题提供参考。

马扎诺教育目标分类学提出了一个认知过程模型：学习者首先判断学习任务的意义并决定投入程度，决定学习之后再确定学习行为的目标、方式和策略，最后运用学习技能去完成学习任务。基于这个模型，马扎诺建立了一个评价体系，他先把知识分成了三类：信息领域（事实、组织概念）、智力程序（智力技能、智力过程）、心理动作领域（心理技能、心理过程）。然后，在学习这三类知识时又可分为六个水平：信息提取、理解、分析、知识运用、元认知系统、自我系统，进一步划分，每个水平还有细分层次如下。

水平1：信息提取，包括知识的简单再认、回忆或执行。

水平2：理解是将知识以适合的形式来记忆，涉及整合和象征两个过程。

水平3：分析是知识的合理延伸，包含匹配、分类、差错分析、概括和认定这五个过程。

水平4：知识应用包含决策、问题解决、实验、调查这四种过程。

水平5：元认知包含目标设定、过程监控、清晰度监控、准确度监控这四个类别的元认知过程。

水平6：自我系统涉及重要性检查、效能检查、情绪反应检查、动机检查这四个方面。

这六个水平并不是台阶式上升的关系，难度也不一定全是逐步上升的，而是学生对知识的学习中所经历的多种认知过程。根据这些目标来设计教学，不仅能关注到学生的多种认知过程，也能考虑到学生的情感体验和态度，同时还能有计划、有针对性地去培养学生良好的思维习惯和学习能力。下面从四个方面来陈述如何基于马扎诺目标分类学思想来进行新授课的课后习题设计。

一、设定习题的目标

习题目标的设定是习题设计的第一步，也是非常重要的步骤，它既体现了教学的要求，也为后续的学习提供了服务。

首先，可以按照马扎诺目标分类学所划分的三大类知识，分别列出当天数学课所涉及的数学知识。课后习题涉及的知识不一定完全和当天上课内容相同，可以根据知识之间的联系适当删减，在实际操作中也可在命题和选题时适当增加。

以指数函数及其性质的第一节新授课为例，可以列出如下三大类知识：

一是信息领域的知识有指数幂的概念，指数函数的概念，指数函数的图像、单调性、定义域和值域。

二是智力程序的知识有指数运算。

三是心理动作领域的知识有绘制指数函数的图像。

其次，对照六个水平及其细分层次确定这些知识的教学进度和要达到的目标层次。现行《义务教育数学课堂标准（2011年版）》中的大部分内容是按照布卢姆目标分类学来设定的，而马扎诺目标分类学与之不同，其中认知系统的四个水平——信息提取、理解、分析和知识运用还比较容易对照《义务教育数学课程标准（2011年版）》来设定。但是，元认知系统和自我系统两个水平的目标在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中出现的较少，需要根据知识点的重要性和命题的容易程度结合学生的情况来设定，最好先有学期总体计划，再具体到每个月、每一周、每一次课。不过，没有必要为每个知识点都设置这两个水平的习题，而是平时就要在教学和习题设计中渗透，这么做旨在提升学生的元认知水平和自我认知系统的调节能力。

再次，可以结合学生的实际情况来设置课后习题所涉及的知识及其目标层次。根据每个学生的具体情况给他们都设定相应的目标是最佳的方案，但实际操作起来很难。当前，比较容易实现的是先对学生进行分层，再根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》设定最低目标，然后在此基础之上，对学习基础较好的学生提高要求。这些要求要侧重在分析和知识应用这两个水平上，因为这两个水平体现了较高层次的思维。而对学习基础较弱的学生在学习上步伐要放慢一点，所以在目标设定上要侧重于理解和分析。另外，设置元认知系统和自我认知系统水平的目标对于每个学生来说都很重要。目前，在习题设计中针对这两个水平是较为缺失的，仍需要根据学生的具体情况来完善设置。

例如，指数函数的概念在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的要求是理解，而在我们的日常教学目标中的要求是掌握。那么设定目标时，对于学习基础较好的学生，这一知识点设置的目标可以包含认知系统的四个水平的所有细分层次，但侧重点要放在分析和应用上，其余的应较少的设置；对于学习基础中等的学生，在应用这个水平的设计时可以降低要求或者难度，尽量少设置一些应用的细分层次目标，要把重点放在理解和分析这两个水平上。比如，差错分析这个细分层次，就需要学生自我检查错误的地方并纠正；最后，针对学习基础较弱的学生，就要在应用和分析两个水平上降低要求，可以少设置一些细分层次的目标和降低习题难度，但是在理解水平上依然要设定较高的要求，比如要画出指数函数这一节的知识结构图等。

另外，因为指数函数的概念是高中数学中的重要知识点，它既和前面第二章函数的知识息息相关，又与后面同一章的对数函数联系紧密。因此，针对所有学生都要设定元认知系统和自我系统两个水平的所有细分层次目标：针对学习基础好的学生时，因为这些学生的学习动机一般都比较强，自我系统的目标一般都能达到，我们就要侧重在元认知系统水平上设定较高要求；对于学习基础中等的学生，一般在两个水平的大部分细分层次的目标都要设定较高要求；对于学习基础较弱的学生，他们一般来说学习动机不强，因此应侧重在自我系统水平上设定较高要求，在元认知系统水平上设定较低的要求。

另外，目标的设定应该具备一定的弹性，可以采取布置选做题的方式，给学生更多的选择空间，尤其是对于学生差异化明显的班级；如果通过上一次布置的习题能得到反馈，从中发现目标设得过高或过低，可能还要适当地调整目标。

二、设计习题的类型和数量

要达到所设定的目标，需要一定数量的习题，并且习题类型应尽量多样化。

首先，应根据学生分层的情况来设置习题所要考查的知识点和相应的水平及其层次。针对学习基础较弱的学生，还要设置较多针对单一知识点的各个水平及其层次的习题，使得学习节奏较缓。针对学习基础较好的学生，则可以设置较多考查多个知识点和涉及多个层次的习题，以满足他们对思维能力的要求。一道考查多个知识点和多个层次的习题，可以多设置几个问题，以适应学习基础较弱的学生。

特别要注意的有两点：一是考查自我认知系统水平和元认知水平的习题应该占据一定比例，而教材和相关资料中这方面的习题是较少的，需要提升比例，还有不同年级的学生一般占比多少仍需要进一步研究；二是考查认知系统四个水平的各个细分层次的习题比例一般各占多少还有待研究。目前，习题中信息提取水平的习题偏多，理解和分析水平的习题偏少。

其次，习题的形式需要多样化，以适应学生的不同需求。传统题型有判断题、选择题、填空题、作图题、解答题和证明题，但是考查同一知识的不同目标的习题的题型都可能会有所不同，要根据目标进行选择。例如，信息提取水平分为再认、回忆和执行三个层次，其中考查再认的习题一般是选择题，而考查回忆的还可以是填空题或者解答题，而考查执行的一般是解答题。

有时候要达成习题的目标，还要增加题型。例如，针对分析水平中的差错分析，增加改错题型。给出用错位相减法求数列的和的完整解题步骤，要求找出其中错误并纠正。另外，开放性题目应该增加比例，目的是鼓励学生去创新、去发展能力。

对于传统题型，还可以增加一些变化。例如，针对理解水平中的整合和分析水平中的匹配和分类，可以让学生自行画出某个知识模块的知识结构图或思维导图等；对于传统的解答题或者证明题，也可以在完整解答或证明的基础上删掉部分关键步骤，然后学生填空，这相当于将解答题和证明题变成了填空题，这种题型对于学习基础较弱的学生的促进作用会更大。

再次，如果通过上次习题的反馈发现，考查某个知识点的某一层次的习题有较多的人做错。那么，涉及这一层次的知识点最好要及时复习巩固，还要布置相同类型的习题。教师最好要定期记录学生常出现的错误，在章节复习时可以有针对性地教学，并使随后的练习更有针对性。

最后，习题数量是否合适应该是以学生需要多少时间去完成来作为衡量标准的，在分层设置习题时不一定以学生的学习程度来决定多少和数量，可以适当增多或设置一定比例的选做题，给学生更大的自主性。同时，可以在习题中设计问题，让学生反馈其练习时所花的时间，以便教师在收集数据之后再调整后续布置习题的数量。

三、设置习题的难度和顺序

首先，习题的难度应该与学生的水平相适应。也就是说，要根据学生已达到的学习目标和学生现有的学习能力来设计，设计的习题难度要能让学生独立完成大部分，而其余的少部分要有挑战性。

习题的难度与题目涉及的知识点的数量、对知识点的考查要求、解题步骤的复杂程度和学生对知识点的熟悉程度都有着密切的关系。设计知识点的数量可以统计出来，题目的复杂程度需要进行分析预计，对知识点的考查要求可以根据马扎诺教育目标分类学理论来设定，因为这个部分在第一步中就要确定，因为学生对知识点的熟悉程度需要从之前的作业以及课堂教学等方面来了解和确定。

其次，习题顺序的设置应该遵循一些基本原则：考查相同知识点的习题时难度小的在前，难度大的在后；习题中知识点的排列顺序最好遵循逻辑先后顺序；考查单一知识点的习题在前，综合多个知识点的在后；习题数量的多少与知识的重要程度成正比。

直接按照马扎诺的认知模型，设置习题的顺序应该是先自我系统水平，这个过程包括强调某个知识点或知识模块的重要性，检查自我效能感和情绪，激发动机；其次是元认知系统水平，包括目标设定，过程监控，清晰度监控，准确度监控；再次是认知系统的四个水平，按照信息提取、理解、分析、知识运用的顺序设置。实际操作中，不可能每个知识点都考查到了自我系统水平和元认知系统水平，对这两个水平的考查可以选择重要知识点作为载体去设置习题，而且根据记忆规律，最好首尾都有设置，中间可以适当渗透。另外，在同一习题中考查认知系统的四个水平中的单个层次的习题，一般应放在考查多个层次的习题之前。

四、根据特定要求挑选或命制习题

当设定好目标之后，我们可以直接挑选现有资料中的习题，如果不能找到满足要求的习题，还需要重新命制。

针对或侧重某个单一层次的习题的命制，在美国的罗伯特.J.马扎诺与约翰.S.肯德宁合著的《教育目标的新分类学》一书中对此已有介绍，但是大多涉及别的科目知识，数学方面的较少，尤其是针对元认知水平和自我系统水平的数学习题太少。而这对于学生来说又非常重要，下面我针对这两个水平的数学习题命制进行逐一分析。

首先是针对元认知水平的数学习题命制。

第一个层次是目标设定，它包括对特定类型知识的理解或对这个方面的技能确定目标并制订实现目标的计划。据此，可以设计习题，让学生自我去设定某个知识点或知识模块要达到的学习目标及计划，并且提供辅助来帮助学生去实现这一过程。如你觉得你对错位相减法运用得如何？你希望对错位相减法的运用要达到什么目标？如何做才能实现？如果没有按照预定时间达成要怎么办？

第二个层次是过程监控，包括确定在实际中怎样才能有效地运行程序，特别是在程序的目标已经确定的情况下。据此，可以设计习题，引导学生思考如何解题的每个步骤，其中，哪些步骤比较关键和重要？遇到困难了该怎么办？还可以帮助学生检查离设定的目标还有多远，有没有必要改变目标等。

如上一层次的习题后可设计这样的问题：使用错位相减法有哪些不同的方法步骤？哪些步骤你觉得重要？哪些步骤的计算你出错最多？怎么避免出错？你觉得哪些步骤不理解？为什么要那么做？要采取什么办法才能解决这些问题呢？大概多久才能使得正确率提升到80%？

第三个层次是清晰度监控，这是指确定个人对特定知识清楚的程度，清晰度指的是没有模糊性和无歧义。据此，可以设计习题，让学生梳理复习所学的知识，了解清楚自己所学的知识达到了什么程度，帮助学生找出学习中觉得理解不清晰、模糊的知识点并反思。如你对递推数列的哪些方面感到不明白？是什么原因导致的？能不能改变？

第四个层次是准确度监控，指确定一个人对知识理解的正确程度。与清晰度稍有不同，学生可能清楚地知道知识的某个方面，但是实际上确是错的。据此，可以设计习题，让学生去证明所学的定理和公式等是如何推导的，还可以设计一些易错结论的证明步骤让学生判断正误并说出理由。如关于等比数列的性质，请写出你确定认为是正确的内容，你能证明为什么是正确的吗？

其次是自我系统水平的习题命制。

第一个层次是重要性检查，包括分析一个人对某项知识是否重要的想法。据此，可以设计习题，让学生去了解所学的知识点中哪些是重要的，为什么是重要的，哪些是常考的，哪些是难点，哪些知识是有助于理解其他知识的，等等。如裂项相消法对你来说重要吗？为什么？这些原因符合逻辑吗？

第二个层次是效能检查，检查的是学生个体认为他对某类知识的理解或相关的能力能达到什么水平。据此，可以设计习题，帮助学生自己去确认自己对某个知识点和知识章节或者数形结合等数学思想方法的学习达到了什么程度，有没有信心达到更高的程度，有没有方法改变现状，等等。如你认为你对三角公式的运用北平能有多大程度的提高？原因是什么？这些原因能成立吗？为什么？

第三个层次是情绪反应检查，检查的过程包括确定到底有没有什么样的感情与特定的知识有关，以及为什么这些联系存在。据此，可以设计习题，帮助学生分析学得不好的知识点是否与情绪有关系，能不能调整，如何调整。如你与错位相减法是否存在某种情感上的关联？如果有，那是什么？对于这种情感关联，你是怎么思考的？这种思考合理吗？

第四个层次是动机检查，是对整体动机进行检查，以改善学生在某种知识方面的认识或能力。整体动机就是前面所述的三个层次——重要性的观念、有效性的观念和情感方面的综合。据此，可以设计习题，让学生确认自己的学习与某个知识点或者知识章节的整体动机之间的联系有没有问题，如是有问题，问题出在哪，怎么去调整。如你为什么要学习与函数的相关知识？你这么想的原因是什么？这些原因合理吗？

另外，针对同一水平中的若干不同层次，也可以设计在同一道习题中，既可以逐问考查，也可以设置较难的一个问题。同理，也可以设置习题对多个水平的若干不同层次进行考查。在设计多个层次的习题时，最好也要遵循前面所讨论的顺序，题设中应尽量引导学生去思考，在分层设计时对于学习基础较弱的学生可以提供提示来降低难度。

总之，当前的课后习题设计依然很难完全兼顾个体差异，未来在解决这些问题时还需要深入研究学生对于不同数学知识的复杂认知过程。在这一方面，马扎诺教育目标分类学提供了一个很好的框架，在这个框架下还可以进一步研究如何更好地设计课堂习题来辅助不同层次的学生，如何设计习题来锻炼学生的元认知能力，如何在教学设计中更好地将情感因素、意志品质和价值观等等因素融入到教学活动中。

在未来的中学数学教育中，解决个体差异问题的方法之一是收集学生的学习大数据，以此有针对性地对学生的学习进行指导，而教育数据中必不可少的是习题的答题情况，但是这些数据能更好地反映学生情况的前提是习题的设计要符合学习该学科知识的认知规律。当然，即便是马扎诺的模型也并没有精确描述所有的认知水平，我们还需要落实以学生为中心的教学思想，深入研究学生的认知过程，在教学实践中不断完善理论。