“有理数”单元的“二进制”学习任务设计

郑子杰/北京市十一学校教师

在2017 版《普通高中数学课程标准》中，把数学学科核心素养概括为：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。虽然在数学课程中或多或少地都体现了这些内容，但是找到落实核心素养的最佳载体则会事半功倍。例如，在初中数学的“有理数”单元，就是落实“数学运算”学科核心素养的一个特别好的载体。

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。通俗地讲，培养学生“数学运算”核心素养就是希望学生通过中学数学课程的学习，掌握一些数学中常见数域（如有理数、实数、复数）的基本运算和运算规律，逐步提升数学运算能力，最终能够有效借助运算方法解决实际问题。

“有理数”单元是学生从小学升入中学后，数学学习的第一个单元。顾名思义，“有理数”单元的学习内容包含有理数、有理数的四则运算以及交换律、结合律、分配律等运算规律。具体而言，“有理数”单元就是将小学的非负数拓展到有理数域。掌握有理数这个新数域所产生的新的运算——负数运算和绝对值，就成了“有理数”单元的重点内容。基于上述理解，我们将“有理数”单元的学习目标设计为：理解和熟练掌握负数的运算以及绝对值的运算，并借助数轴辅助运算。

为了帮助学生完成单元的学习目标，我们对于整个单元采用了常规教学与“二进制”拓展学习任务相结合的方式。通过常规教学，学生掌握了负号和绝对值的定义和运算规则，学生通过习题演练，能够逐渐熟悉这些新的运算，提升运算能力。但是，对于“数学运算”核心素养的培养不仅仅是对运算熟练度的培养，还包括对于运算本身的理解。

为了帮助学生加深对运算的理解，我们在“有理数”这个单元，除了常规的课堂教学设计外，还设计了“二进制”的拓展学习任务。“二进制”的学习任务，概括来讲，就是让学生围绕“计算机中的二进制表示和运算规则”进行一系列研究性学习任务。

能够用来设计任务的“数域”有很多，为什么要选择计算机中的“二进制”呢？

首先，二进制是现代电子计算机中使用的数的表示方式。无线通信、人工智能等这个时代最先进的领域都无法绕过“二进制”的思想，例如，编码中的伽罗华域、神经网络中的激活函数等。

学生小组合作过程和学生设计的“二进制”原码、补码的数轴

其次，计算机中的“二进制”能够承载“提升数学运算核心素养、让学生真正理解运算”这个学习目标。在主流的计算机教材中，主要偏重编码的操作过程，不会从“数域”和“运算”的角度做更深的阐释。所以，学生无法直接拷贝现有的资料，只能沉下心来去探究这个“二进制”数域和运算本身。例如：在对于负数运算的理解方面，“有理数”单元中用一个“小横杠-”来表示负号，而在计算机的“二进制”中（以补码为例），需要用对应的二进制数来表示一个负数。虽然“小横杠-”不存在了，但是“负数”的含义和相关的运算依旧存在。学生如果想要完成这个任务，就需要对负数和绝对值的运算有更深层次的理解。

二进制补码对于负数的定义如此复杂，作为初一的学生能够理解吗？

如果从“有理数”数域直接迁移到计算机“二进制”补码数域，即使是对于很多计算机专业的大学生，也是十分困难的。所以，为了能够让学生平稳顺利地从课内学习拓展到“二进制”学习任务，就需要把任务拆解为若干个难度和认知水平逐渐上升的子任务。我们的“二进制”学习任务拆成三个子任务进行。

首 先，在子任务1中，我们先让学生去研究普通的二进制表示的有理数域以及二进制下的四则运算。二进制表示的有理数域与十进制表示的有理数域的唯一区别是，在十进制有理数域下，数用阿拉伯数字“0”到“9”表示，而在二进制下，数只用“0”和“1”两个数字表示，这个子任务的目的是让学生熟悉用“0”和“1”两个符号表示数。

然后，在子任务2 中，学生需要去研究计算机中的二进制原码以及原码的运算。原码与普通二进制的两个区别是：“位数有限”的限定和用“1”代替“小横杠-”表示负数。通过这个任务，学生去研究一个含有无限个元素的数域及其运算上升到包含有限元素的数域，同时，用另一种符号“1”来表示“负”的含义。

最后，才是让学生去探究二进制补码以及补码的运算，学生需要在子任务1 和2 的基础上，探究循环数域中负数运算和绝对值运算的含义。对于每一个子任务的探究，我们都要求学生进行一遍研究新数域的流程：先研究数域中的数的特征，再研究该数域中的运算特征，最后再去设计图形化的工具（如数轴）直观理解运算。

我们将这项任务作为为期一个月的课外拓展作业布置给学生。完成的形式是小组合作，要求学生们组成不超过四个人的小组完成任务，遇到困难时，可以在下午自由活动时间进行充分讨论。同时，我们也提供一些涉及“二进制”的知识网站链接，供学生们根据需要自行选择学习，从而培养他们现代化工具的使用以及信息查询提取的能力。在任务结束的时候，要求每一位学生填写“自我评价表”，来沉淀和反思自己的收获。最后，我们会把任务的整体设计思路、背景知识以及学生们任务完成中的闪光点进行整理，以讲座的形式与学生们分享。

从效果上看，这次任务充分实现了预期目的，让学生们学会“如何去研究一个新的数域和数域中的运算”。例如，有的学生深刻地体会到了计算机中“二进制”原码和补码的位数有限的特征和负号的特殊表示形式，仿照“有理数”单元中的数轴工具，设计出“8”字和圆圈类的数轴来辅助运算。这些设计是现有资料中搜索不到的，需要对二进制循环域中的负数运算有着深刻理解并加以创造才能完成。

通过这次“二进制”学习任务，除了加深学生对于“数域中的数学运算”理解外，切实提升了学生“数学运算”的核心素养。学生们的数学想象力和创新意识也得到了充分拓展和发挥。同时，阅读能力、信息检索能力、论文写作能力、团队合作能力等方面也得到了全方位的提升。