基于范希尔理论的“圆的标准方程”教学

李良

[摘要]范希尔理论是针对几何教学提出的，但它体现的是认识事物的一般规律，因此对其他方面的教学也有很好的借鉴价值.文章借助范希尔理论具体分析學生掌握圆和圆的标准方程所需要经历的层次，并给出每一层次的教学案例及具体设计意图.[关键词]范希尔理论;几何思维水平;圆的标准方程

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058（2020）02-0028-02

“圆的标准方程”是高中数学的重点内容之一.圆作为数学中的经典内容，在高中阶段被安排在直线之后.通过直线方程的学习，学生初步了解了用代数方法研究几何问题.本节内容的研究为后续学习椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程提供思路，在整个平面解析几何中起承上启下的作用.笔者借助范希尔理论对本节内容的教学进行思考，希望以此强化教学效果，提升学生的理解能力.

一、范希尔几何思维水平理论简述

荷兰学者范希尔夫妇对学生的几何思维进行了大量的研究，通过研究他们发现：在教学过程中，教师的教学或者教材的专业知识和语言经常会超过学生的思维，导致学习效率低下，教学效果不佳.由此，他们总结出几何思维的五个水平以及相对应的五个阶段.水平0：直观感受.学生能注意到直观形状的某些特征;能通过整体轮廓辨认图形;能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形.水平1：分析.学生能分析图形的组成要素及特征，并以此建立图形的特性，能根据组成要素比较图形，会利用某一性质建立图形间的关系、图形性质的顺序，进行图形的分类.水平2：抽象/关联.学生能建立图形及图形性质间的关系，能形成抽象定义，通过图形与性质的交互联系重组所获得的思想.水平3：形式推理.在公理化系统中建立定理，能够以此进行形式推理.水平4：严密性数学.在数学系统下进行形式推理，分析比较不同的集合系统.

与之对应，范希尔夫妇提出五个教学阶段，便于指导教师教学.阶段1：学前咨询.教师和学生就所学对象进行双向交谈.阶段2：引导定向.教师仔细安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉所学对象的结构特性.阶段3：阐明.教师提供最低程度的提示，学生明确词汇意义，能够表达内在结构的看法，开始形成学习的关系系统.阶段4：自由定向.学生能碰到多步作业或能以不同方式完成作业，在寻找方法和解决问题的过程中获得经验.阶段5：整合.学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，教师对学生理解的东西做全面的评述，帮助学生完成这一过程.

范希尔理论最初是针对几何教学提出的，但它也揭示了人类认识事物的一般规律，对促进学生有效学习与理解，指导教师制订有效的教学计划都有重大的意义.

二、学生掌握圆需要经历的层次圆是日常生活中非常常见的图形，对它的认识是一个不断深化发展的过程，结合范希尔理论，笔者认为学生掌握圆需经历以下五个层次.

层次1.对圆的初步感知.

该层次相当于范希尔理论中的直观感知水平，学生能从生活中体会到圆的存在，从而产生研究圆的兴趣.

【案例1】

方案1.现实生活中有许多圆的例子，让学生举出几个.

方案2.展示硬币、圆形盾牌、奔驰车标、奥迪车标等的图片，问学生从中能发现什么几何图形.

方案3.播放游乐园的简介视频（内含摩天轮、旋转木马等）.

设计意图：方案1是从学生自主发现进行课程导入.此设计基于两点：（1）圆作为现实中的常见图形普遍存在于日常生活.（2）作为高中生，经过义务教育阶段知识、经验的积累对于“圆”这个名词已经有了清楚的认知.因此，问题一经抛出，学生就能发挥自身的能动性，将客观事物的形象完美地呈现在脑海中.方案2和方案3是教师带动学生发现图形导入课程.方案2选择的图形是静态的，此时整个圆的形象更容易呈现.图片中放置了两个汽车车标，目的是初次呈现圆与圆的区别：大小不一，位置不同.方案3中视频展现的圆是动态的，与接下来圆的作法可以做到有机街接.在实际操作中也可以将这三个方案结合使用.

层次2.对圆概念的初步认识.

该层次相当于范希尔理论中的分析水平.在此水平上，学生清楚构成圆的要素与特征，但还不能用数学语言进行描述.本层次的目标是经过教师的“引导定向”，让学生学会画圆，为之后圆的定义与求圆的标准方程做好铺垫.

【案例2】探究如何画圆

师：在数学学习中如何画圆？

预设答案：使用圆规作圆，将圆规的两只脚张开一定的角度，将其中一只脚放在固定点上，另一只脚紧贴点所在平面，然后转动圆规一周，画出的图形就是圆.

师：如果没有圆规，你能画圆吗？（学生思考）

预设答案：（可能情况）

1.固定两根手指，类似圆规作图.

2.尺子上有圆孔，沿着圆孔边缘画一圈.

3.比着圆形器物（如硬币等）的边缘画一圈.

4.用电脑软件绘制圆.

师：如果给你一根线（无弹性），你能画出圆吗？

生：能.（学生在纸上先固定线的一端，在线的另一端绑支笔，拉紧线后绕一圈画圆）

设计意图：通过不同形式画圆，使学生逐步建构圆的概念.数学教学要使学生在教师的引导下能动地构建数学认知结构，并能促进师生的共同发展.教师要创造适当的环境，以造就学生良好的数学认知结构，满足后续的学习需要.最后用线作圆为之后圆的概念的引出起到铺垫作用.

层次3.对圆概念的抽象认识.

该层次相当于范希尔理论中的抽象关联水平.在这一水平，学生能掌握建构圆所要的要素，能借助数据之间的联系进行思维活动，能运用数量关系判定几何图形是否为圆.

【案例3】

问题1：用线作图可以得到哪些图形？

预设答案：线段、扇形和圆.

问题2：线是否可以有弹性？为什么？在作一个圆的过程中观察哪些量是固定的？

預设答案：线长不能有弹性，不然画不出圆.其中一端点定下后是固定的，线长固定.

问题3：结合上面的讨论，试总结圆是什么样的点的轨迹？

预设答案：圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹，注意前提是“平面内”，与球相区别.定点为圆心，定长为半径.

设计意图：数学定义是对客观现象的理性认识，本层次致力于用准确的数学语言描述圆的定义.通过师生对话，增进知识的理解，活跃课堂气氛.

层次4.对圆概念的全面把握.

该层次是范希尔理论中的形式推理水平.此时学生能用演绎推理的方式证实猜想，得到圆的标准方程，并将该知识纳入自己的认知结构.

【案例4】

问题1：如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的圆？

预设答案：设M是圆上任意一点，则圆上点的集合为：[={M}.

直角坐标系中如何研究圆的标准方程？

问题2.解析几何问题研究的基本思想是什么？

预设答案：数形结合思想.数形结合可以形助数也能用数解形，由之前的直线内容可知，解析几何侧重于后者.

问题3：如何建立圆的标准方程.

基本步骤：建坐标系，设点，找等量关系，代入坐标，化简.

设圆心C为（a，b），点M为（x，y），由P={M}可得

上式两边平方，得（x-a）²+（y-b）²=r²，这就是我们所要推导的圆的标准方程.

问题4.写出当C（0，0），半径为r时圆的标准方程;当r=0，图形是什么？

预设答案：圆的标准方程为x²+y²=r²;图形为点.

问题5.圆心与半径分别决定了什么？

预设答案：圆心决定位置，半径决定大小.

问题6.如何判断点与圆的位置关系.

预设答案：点与圆心的距离为d，比较d与r的大小关系来判断点与圆的位置关系.

整个教学过程，师生积极参与，逐步建构知识，完成方程的推导.

设计意图：从集合描述入手，借助数形结合思想，利用旧知识获得新的知识，同时激发学生思维，培养学生处理问题和解决问题的能力.

层次5.对圆概念的形式化认识.

该层次是范希尔理论中的严密性数学水平.在此水平，学生对圆的概念进入形式化阶段，能用圆的知识解决一些简单的问题，同时对笛卡儿思想、数形结合思想和方程思想有了进一步的感悟.

【案例5】圆的标准方程的运用

1.已知圆的标准方程，求圆心和半径.

①（x-3）²+（y+4）²=r²;

②（x+1）²+y²=r²;

③x²+（y-2）²=r².

2.通过已知条件求圆的标准方程.

①求以点C（0，2）为圆心，r=1为半径的圆的标准方程.

②设点A（2，3），B（4，1），求以线段从为直径的圆的标准方程.

3.学生分组讨论，借鉴1、2互相编题解题.

4.圆的实际应用（能力提升题）.

已知隧道的截面是半径4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，问一辆宽2.7 m，高3 m的货车能否驶入这个隧道？

设计意图：选取典型例子，帮助学生深化对圆的定义和标准方程的理解.组织编题解题的活动目的是推进学生自主变式训练，发挥学生的主观能动性，提升教学效果.加入应用题表明数学是客观事物的抽象，有着实际的应用价值，能增强学生的学习兴趣.

人类认识事物的过程中需要经历从特殊到一般，从具体到抽象.范希尔理论正揭示了人类认识事物的一般规律，笔者借此理论比较具体地分析了学生对圆和圆的标准方程的掌握需要经历的层次.基于此，教师应按照学生的实际情况进行因材施教，引导学生对概念不断深化理解，并在此基础上推进实际应用.

[参考文献]

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]贺明荣.基于范希尔几何水平理论的“椭圆及标准方程”教学设计[J].数学通讯，2004（10）：22-25.

[3]丁保媛，刘咏梅.范希尔理论指导下的函数概念教学[J].中学数学研究，2013（3）：1-3.