挖掘高考题内涵 提高复习有效性

何利娟

[摘要]高考真题或模拟题是对考试说明的具体演绎.教师应对它们进行对比分析，最大限度地发挥这些试题的作用.挖掘典型高考题的深刻内涵，有助于提高高考复习的有效性.

[关键词]高考题;高考复习;有效性

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058（2020）02-0010-02

教师教得“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实学生学得“有效怎样的题目才值得我们深入研究呢？下面试举一例.挖掘高考题的深刻内涵，有助于我们提高高考复习的有效性.

【题目】（2017年高考数学浙江卷第19题）如图1，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.

（I）证明：CE//平面PAB;

（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

一、解法

本题要解决两个问题.一是证明线面平行.可以通过线线平行或者面面平行来证明，也可以用矢量知识来证明;二是求线面角的正弦值.因为CE是可求的，所以只要求出点E到平面PBC的距离即可.当然这个距离可以通过找到点E到平面PBC的垂线段来直接求解，也可以通过等积转化来间接求解，或者还是借助矢量来求解.

1.几何法

（I）解法一：线线平行线面平行

设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF//AD且EF=AB，又因为BC//AD且BC=AD，所以EF//BC且EF=BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以BF//CE，因此CE//平面PAB.

解法二：面面平行线面平行

如图2，取AD的中点为N.连接EN，CN.因为BC//AD且BC=AD，所以BC//AN且BC=AN，即四边形ABCN为平行四边形，所以CN//AB，所以CN//平面PAB.又EN//PA，所以EN//平面PAB.又CN，EN平面CEN且CN∩EN=N，所以平面CEN//平面PAB，所以CE//平面PAB.

（II）解法一：线面角的“真作真求”

如图3，分别取BC、AD的中点M、N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E、F、N分别是PD、PA、AD的中点，所以Q为EF的中点.在平行四边形BCEF中，MQ//CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由D C⊥AD，N是AD的中點得BN⊥AD，所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H.连接MH，MH是MQ在平面PBC上的射影.所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中，由PC=2，CD=1，得.在△PBN中，由PN=BN=1，得.在中，所以.

解法二：线面角的“假作真求”

过点E作EH⊥平面PBC于H，连接HC，于是∠ECH就是直线CE与平面PBC所成的角.设N到平面PBC的距离为h，即有.

由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD，所以AD⊥平面PBN，

由BC//AD得BC⊥平面PBN，所以BC⊥PB.设CD=1，则在.

又在△PBN中，PN=BN=1，所以.因为，即.

解得.于是.在△PCD中，由，得，

所以在中，.

2.矢量法

解法一：坐标法

（I）如图4，过D作平面ABCD的垂线DM，以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CD=1.则D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

设P（x，y，z），因为，所以，解得.

所以，又

所以，

所以，，即三个矢量共面.又平面PAB，所以CE//平面PAB.

（当然也可以通过证明与平面PAB的法矢量垂直来证明CE//平面PAB.）

（II），设平面PBC的一个法矢量为，则，即，令y=1，则.则.

解法二：基底法

设，且，.

（I）由，得，所以，三个矢量共面.又平面PAB，所以CE//平面PAB.

（通过证明与平面PAB的法矢量垂直来证也可以）

（II），设平面PAB的一个法矢量为，则有，即.

令y=-1，解得x=z=2，所以，n=2a-b+2c.设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则.

二、方法

本题的第一种方法是几何法，此法需要学生具有一定的空间想象力以及空间作图能力，能熟练掌握空间线面平行的判定方法以及空间线面角的基本求法.

本题的第二种方法是空间矢量法.它的引入有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构.利用空间矢量的运算解立体几何问题，可把抽象的几何问题转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性.矢量法主要有两种，一是坐标法，二是基底法.利用矢量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系往往受到图形的制约，就像本题的坐标系很多学生不懂建，有些即使建好了但P的坐标又不会求.矢量的基底法，只要在图形中选定一个合理的基底，然后将所需的矢量用此基底表示出来，再利用矢量的运算进行求解或证明即可，是对坐标法的有力补充.

三、引申

[例题]如图5，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长相等，若∠AA₁B₁=∠AA₁C₁=60°，则异面直线A₁C与AB₁所成角的余弦值是（）.

A.B.C.D.

解析：采用基底法.设，则，设异面直线A₁C与AB₁所成的角为θ，则.

评点：本题的几何背景是斜三棱柱，学生用传统的几何方法解题比较困难，建立空间直角坐标系也较难，即使勉强建了坐标系后点的坐标也难求，而用基底法不用去找兩两垂直的直线，更不用去求点坐标，完全避开这两个难点，从而使得求解过程简洁明了.

矢量法特别是矢量的基底法，是空间矢量坐标法一个很好的补充，应引起教师足够的重视.首先，基底法是研究矢量的起点和基础;其次，它具有较大的自由度，它对发展学生的思维有很好的作用;第三，它的应用范围更广泛.一些问题如果用几何法解，很多学生由于受到空间想象力的限制而难以实施，用坐标法难以建空间直角坐标系，而基底法完全避开这些难点.

在关注基底法在立体几何教学中的重要性的同时，学生要彻底掌握此类题目，还必须关注对立体几何中基本概念、性质、定理的理解.教师应引导学生从不同的角度思考立体几何问题，不能放弃对传统的几何法和矢量坐标法的重视.

高考真题和模拟题是对考试说明的具体演绎，这些题目告诉我们考什么和怎么考，因此我们要对它们进行对比、整理分析，梳理它们之间的联系，并将它们充分应用到课堂教学中，最大限度地发挥这些试题的作用，从而提高高考数学复习的有效性.