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导数与数列中有关不等式的证明

2020-02-29马汉阳

中学教学参考·理科版 2020年1期
关键词:数列不等式导数

马汉阳

[摘要]导数与数列中有关不等式的证明是高考重点考查的内容,也是高考的难点之一.研究此类问题的证明方法,能提高学生的解题能力.

[关键词]导数;数列;不等式;证明

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058(2020)02-0012-02

数列是高中数学中的一个重要内容,在高等数学也占有重要的位置.函数与不等式是高中数学培养学生思维能力的重要内容,它们可以体现数学思维中的很多方法,当两者结合在一起的时候,问题比较难解决.学生在做这类题目时往往无从下手.究其原因,一是综合运用知识的能力欠佳;二是方法不得当.因此在复习这两类知识时,一定要注意它们的相互渗透,寻找解决问题的方法.

[例1](2019年南宁市第二次模拟考)已知函数f(x)=ax2-2xlnx-1(a∈R).

(1)若时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的单调区间;

(2)证明:.

解析:(1)由已知f'(x)=2ax-2lnx-2,当时,函数f(x)取得极值.

故,所以时,时,.

所以f(x)的单调增区间为,单调减区间为.

(2)当a=1时,.

令g(x)=x-lnx-1,则.当01时,g(x)>0,g(x)的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,+∞),g(x)≥g(1)=0.又f(x)≥0,所以f(x)为增函数.当x>1时,f(x)=x2-2xlnx1>f(1)=0,所以当x>1时.

令,得,

即.

所以.

即,所以.

点评:本题的难点在第二问.解决的关键是要利用函数不等式x>1时去构造数列不等式.即令,x取这个值非常关键,这要看要证明式子两边的结构来设置.

[例2](2019年南宁市第三中学模拟考)已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax.

(1)求函数f(x)的极值;

(2)证明:,其中e为自然对数的底数.

解析:,令,解得.由得.由得,故在上单调递减,在上单调递增,故的极小值为

无极大值.

(2)由(1)知道,当a=1时,f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故当x>0时,f(x)>f(0)=0.

即.

令,可得,则有

两边同时乘以n2n可得.

点评:找到要用的函数不等式,即要证.

再令,就可以構造出数列不等式,再放缩一次,问题就解决了.

[例3](2017年新课标卷III理)已知函数

(I)若f(x)≥0,求a的值;

(II)设m为整数,且对于任意正整数n,求m的最小值.

分析:(I)因为函数,且,所以当时恒成立,此时在上单调递增,所以在(0,1)上,这与矛盾;当时令,解得x=a,所以在(0,a)上单调递减,在上单调递增,即,又因为,所以.

(II)由(I)可知当时,即,所以,当且仅当x=0时取等号.所以,所以.一方面,因为,所以

因为m为整数,且对于任意正整数n.

点评:只要找到要用的函数不等式,再根据式子的结构特征,令,所以,问题就可迎刃而解了.

[例4](2011年高考浙江卷理22)已知函数.

(1)求f(x)的单调区间和极值;

(2)求证:.

令,令.

故f(x)的单调递增区间为(-1,2a-1),f(x)的单调递减区间为(2a-1,∞).

f(x)的极大值为2aIn2a-2a+1.

(2)要证,

即证,即证

即证.

令,由(1)可知f(x)在(0,+∞)上递减,故f(x)

即,令,故.

累加得.

故,得证.

点评:找到要用的函数不等式ln(1+x)

再令,构造出数列不等式.

导数与数列中有关不等式的证明是紧密相连且互相渗透的.在复习中,我们一定要注意它们的联系,它们所涉及的问题往往是灵活应用导数与数列中有关不等式的知识,把这两者完美地结合在一起.学生要在知识的交汇点学会思考分析,达到知识的融会贯通.同时,提高自己的分析问题和解决问题的能力.

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