导数与数列中有关不等式的证明

马汉阳

[摘要]导数与数列中有关不等式的证明是高考重点考查的内容，也是高考的难点之一.研究此类问题的证明方法，能提高学生的解题能力.

[关键词]导数;数列;不等式;证明

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058（2020）02-0012-02

数列是高中数学中的一个重要内容，在高等数学也占有重要的位置.函数与不等式是高中数学培养学生思维能力的重要内容，它们可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题比较难解决.学生在做这类题目时往往无从下手.究其原因，一是综合运用知识的能力欠佳;二是方法不得当.因此在复习这两类知识时，一定要注意它们的相互渗透，寻找解决问题的方法.

[例1]（2019年南宁市第二次模拟考）已知函数f（x）=ax²-2xlnx-1（a∈R）.

（1）若时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的单调区间;

（2）证明：.

解析：（1）由已知f'（x）=2ax-2lnx-2，当时，函数f（x）取得极值.

故，所以时，时，.

所以f（x）的单调增区间为，单调减区间为.

（2）当a=1时，.

令g（x）=x-lnx-1，则.当01时，g（x）>0，g（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞），g（x）≥g（1）=0.又f（x）≥0，所以f（x）为增函数.当x>1时，f（x）=x2-2xlnx1>f（1）=0，所以当x>1时.

令，得，

即.

所以.

即，所以.

点评：本题的难点在第二问.解决的关键是要利用函数不等式x>1时去构造数列不等式.即令，x取这个值非常关键，这要看要证明式子两边的结构来设置.

[例2]（2019年南宁市第三中学模拟考）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax.

（1）求函数f（x）的极值;

（2）证明：，其中e为自然对数的底数.

解析：，令，解得.由得.由得，故在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为

无极大值.

（2）由（1）知道，当a=1时，f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故当x>0时，f（x）>f（0）=0.

即.

令，可得，则有

两边同时乘以n²ⁿ可得.

点评：找到要用的函数不等式，即要证.

再令，就可以構造出数列不等式，再放缩一次，问题就解决了.

[例3]（2017年新课标卷III理）已知函数

（I）若f（x）≥0，求a的值;

（II）设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值.

分析：（I）因为函数，且，所以当时恒成立，此时在上单调递增，所以在（0，1）上，这与矛盾;当时令，解得x=a，所以在（0，a）上单调递减，在上单调递增，即，又因为，所以.

（II）由（I）可知当时，即，所以，当且仅当x=0时取等号.所以，所以.一方面，因为，所以

因为m为整数，且对于任意正整数n.

点评：只要找到要用的函数不等式，再根据式子的结构特征，令，所以，问题就可迎刃而解了.

[例4]（2011年高考浙江卷理22）已知函数.

（1）求f（x）的单调区间和极值;

（2）求证：.

令，令.

故f（x）的单调递增区间为（-1，2a-1），f（x）的单调递减区间为（2a-1，∞）.

f（x）的极大值为2aIn2a-2a+1.

（2）要证，

即证，即证

即证.

令，由（1）可知f（x）在（0，+∞）上递减，故f（x）

即，令，故.

累加得.

故，得证.

点评：找到要用的函数不等式ln（1+x）

再令，构造出数列不等式.

导数与数列中有关不等式的证明是紧密相连且互相渗透的.在复习中，我们一定要注意它们的联系，它们所涉及的问题往往是灵活应用导数与数列中有关不等式的知识，把这两者完美地结合在一起.学生要在知识的交汇点学会思考分析，达到知识的融会贯通.同时，提高自己的分析问题和解决问题的能力.