浅谈定积分教学的优化策略

广东省广州市增城中学 侯晓燕

新课改后，在高中阶段加入定积分的知识，扩大了学生学习的知识面，减少了在求解不规则平面图形面积问题时的运算量，也为学有余力的同学提供了进一步学习的途径和机会。纵观近10 年高考全国卷，虽然每年的高考理科数学考试大纲对定积分与微积分原理的要求基本不变，但仅在2010 年考查了定积分概念及简单运算，2011 年考查了定积分应用求面积，2012 年至今未见一题。近10 年高考考核新增热点、难点，从算法到线性回归直线方程，从二项分布与超几何分布近似代替到独立性检验，从热点时事到数学文化知识成为题目背景，对定积分的考查也很有可能成为新的热门考点，所以如何在有限的教学时间里完成考纲要求，培养学生进入大学后学习定积分的兴趣，对定积分进行优化教学，还是值得研究的课题。

一、定积分概念教学及微积分基本原理的引入

以计算面积为索引，以分割求和为突破口，结合求极限思想，引入定积分概念。

物理求解运动位移，目前只能解决匀速直线运动，匀变速直线运动，如果一旦是一般的变速运动呢？

微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法。微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法。学生在经历烦琐的概念运算及数列求和过程中产生的消极情绪有了突破口，一下子精神振奋，很好奇地想知道解决方法，于是顺理成章地引入课本45页定积分概念，并利用微积分基本原理进行运算，而且在变式教学中，教师要不断培养学生的思维转换能力，“一题多变”对学生的知识能力进行了巩固性训练，增添了学生在学习过程中的趣味性，唤醒了学生的求知欲望，促使学生乐于研究此类题型。

通过比较，学生积累了利用微积分基本原理解决定积分的运算兴趣，并为后面的运算题及理解定积分的几何意义打下基础。

二、定积分的几何意义

在学生掌握好定积分运算后，方进入定积分几何意义的学习。这样的后置安排，有利于定积分几何意义的探索，同样能调动学生的数学思维，锻炼数形结合解决数学问题的能力。同时，基于“最近发展区理论”，在教学中找准学生的认知起点，确定这节课教学的起点和终点，指引学生达到相应的层次，尽可能发挥潜能。

例2：（课本P53 例2）计算下列定积分：

【教师点拨】 通过计算发现，定积分有正有负。而我们为计算曲边梯形面积引入了定积分，问题出现在哪里？引导学生查阅课本选修中定积分的几何意义，得出P54 的结论：当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形面积；当对应的曲边梯形位于 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形面积的相反数。

变式训练1：已知函数 的图像如下图所示，则阴影部分的面积 为（ ）

例3：计算下列定积分。

【教师点拨】例3 是应用定积分的几何意义，把数的问题用图形来呈现，用求图形面积来解决定积分计算的问题，其中（1）～（5）题对应的图形分别是：

方法2：数形结合，计算阴影部分梯形面积。

（2）分段函数积分，数形结合，化繁为简。

（4）综合考查学生的应变能力，定积分基本运算及数形结合能力。

（5）在（3）的基础上，考查学生的应变能力，数形结合能力，割补法求面积。

在这个知识点的教学设计里，变式教学，一法多用，是对解决问题的方法加以总结与归纳，进而形成一种技巧的解题方式。通过这种技巧的学习可以达到多题归一的目的，使学生能够迅速抓住题型的本质，将所学知识与能力的培养有机结合起来，提升课堂教学效率，并有助于学生良好学习习惯的养成，拓展学生思维的广度。

三、定积分的综合应用

高考数学试题中难题有一类题目题干较长，文字较多，会设计一些背景材料，在考试时间紧张的情况下会对考生心理造成很大压力。例如定积分的应用，主要分为两大类：一是定积分在几何中的应用，二是定积分在物理中的应用，又分为变速运动、力学做功。这两类应用课本及参考书已经有大量的例题及练习。在这里补充的是定积分与其他知识点结合的题。

A. 6+2sin2 B. -6-2sin2 C.20 D.-20

（5）概率：如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其他信号来源，且这两个基站工作正常。若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( )

A. 33 B.46 C.48 D. 50

高考数学命题思路是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性。虽然定积分内容不多，但是可以与其他各章知识点结合考查学生的数学素养，应该给予重视。本文只是对定积分教学做了几点优化尝试，更多的优化值得教师们去探索研究。