泊肃叶流动流速与流层半径成抛物线的机制

秦任甲

(桂林医学院数理教研室,广西 桂林 541001)

学医行医常涉及的人体物理问题多有尚未解决或未完全解决,因此笔者退休后坚持对呼吸系统、听觉器官和血液流变学、血流动力学、超声多普勒血流频谱学以及临床医学物理教改等范围的问题开展研究,发表论文数十篇[1-15]。期盼相关学者更多参与,共同为创建相关学科理论作贡献。

所谓泊肃叶流动是法国医生泊肃叶于1864年研究并获得泊肃叶定律(公式)而得名，其实质是指水平均匀圆直管内液体能使泊肃叶定律(公式)成立的流动。泊肃叶流动必定是定常流,即流场内所有空间点的流速(大小和方向)都不随时间改变。对于水平均匀圆直管,泊肃叶流动与定常流是同义词。处于定常流时管内液体必定成如下流态模型:从管轴到管壁可看成是一系列与管同轴的流层。设流层厚度为Δr,半径为r，长度为L(管长),流速为υ,流层的流速υ与流层半径r成抛物线关系即

(1)

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式(1)(2)中r0、η、Δp分别为管内半径、管中牛顿流体黏度为常量[16]、管两端压强差。Q为管内液体流量。式(2)称为泊肃叶定律。表示式(1)的流速曲线称为抛物线[17],其实质是某一时刻排列在任一直径上的液体元经过单位时间分别流到之点所连结成的曲线。立体看,管内流层的流速与流层半径成抛物面关系,式(1)的流速曲线就是过管轴的纵截面与流速抛物面的相交线。

泊肃叶定律是流体力学、血流动力学、血液流变学、生理学的基础,在医学中广泛应用。从多所院校图书馆所能查阅到的文献中式(1)(2)都是用数理方法推导出来的[18-19],至今尚未见有文献具体而全面揭示式(1)的形成机制。钱学森曾说:“科学知识的特点是，不仅能回答是什么,还能回答为什么。但人类从实践中还获得了大量的感性知识和经验知识，这部分知识的特点只知道是什么，还不能回答为什么，所以进入不了现代科学技术体系之中。我们把这部分知识称为前科学。……从前科学到科学再到哲学这三个层次的知识，就构成了人类的整个知识体系。”[20]照钱学森的这一层次说(注: 笔者所称)，不仅必须知道泊肃叶流动的第一层次知识即其流速曲线是抛物线，还必须知道其第二层次知识即流速曲线为什么能成抛物线,前者回答是什么亦即知其然,而后者回答为什么亦即知其所以然,否则对其理解是不够深刻的，其理论是不完备的。对教学涉及的问题尤其应该如此[9-10],不然授课底气不足，学生问及难以回答,学生学不到完备理论。

研究本课题的目的在于构建阐明泊肃叶流动流速与流层半径何以成抛物线的理论，弥补其理论空白，为丰富流体力学和相关医学学科理论添砖加瓦，为教学提供参考，使教与学都能从机制的深度把握泊肃叶流动的流速与流层半径的关系，同时还展现出不懈深究科学真理的精神。

无论观察流速抛物线还是观察平缓流动的沟渠江河从岸壁到中轴各流层的流速变化都可发现这些流动均存在两个基本特征: 其一，任一流层都是内侧面(近管轴侧面)比外侧面(近管壁侧面)流速快。其二，越近管壁的流层内外两侧面的流速差越大，反之越小。下面将通过揭示两个基本特征的形成机制来阐明:一，式(1)中Δp/(4ηL)因数不变，流速抛物线随流层半径变化的成因;二，流速抛物线形状随着Δp/L变化而改变的成因。从而揭示泊肃叶流动流速与流层半径成抛物线关系的完整形成机制。

1 流层内侧面比外侧面流速快的原由

泊肃叶流动中流速与流层半径成抛物线关系是一种理想流态。从现实平缓流动的沟渠江河中所看到的从岸壁到中轴各流层的流速由0逐渐增至最大,这还不能说是泊肃叶(抛物线流速)流动,充其量为近似泊肃叶流动。但从此观察中已经可以获得形象、直观、生动的层流认识，并可推想到流速与流层半径成抛物线理想流态的存在。无论从理想流速抛物线还是从现实平缓流动的沟渠江河中都可看得岀任一流层都是内侧面流速快于外侧面流速,其原由何在呢？

流层内外两侧面存在流速差是因为流层两侧面所受内摩擦力方向不同所造成。内摩擦力f为

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f是作用于面积为S的两接触流层面上的内摩擦力,作用于此流层面的内摩擦力与作用于彼流层面的内摩擦力互为作用力与反作用力,大小均为f,但方向相反。式(3)称为黏性定律,也称为牛顿黏滞定律[22-23]。 dυ/dr称为速度梯度。两接触流层面间存在流速梯度,可理解为两接触流层面间存在一定的流速差。式(3)(4)给岀作用于流层面的内摩擦力与各相关因素的关系。

附着于管壁的流体层通常称为附壁层。人们假定附壁层相对管壁面无滑流,即υ=0。两百多年来，虽然未获得理论或实验证明,但按此无滑流条件所得出的结论,除稀薄气体外从来没有出过问题[24]。因此本文也承认无滑流条件。因为附壁层不流动，才有可能从附壁层面起各流层面都受到由式(3)(4)表达的内摩擦力作用,使泊肃叶流动或沟渠江河从岸壁到中轴流速逐渐增大的流动得以形成,否则是不可能的。

以i表示流层的序号,i取值为0、1、2、3……n。i为0的流层为附壁层,i为n的流层位于管轴,可认为是与管同轴的很小半径圆柱形流层。i流层的外侧面比i-1流层的内侧面流速快，所受i-1流层内侧面施加的内摩擦力与其流速反向,导致i流层的外侧面减速。i流层的内侧面比i+1流层的外侧面流速慢，所受i+1流层外侧面施加的内摩擦力与其流速同向，导致i流层的内侧面加速。可见在内摩擦力作用下任一流层的内侧面流速都比外侧面的快。不管划分的流层厚度如何小,这一论断都成立。就任一个流层而言,都是外侧面流速最慢,从外侧面到内侧面流速逐渐增大,内侧面流速最快,致使i流层的流速曲线段近管轴端向前而近管壁端滞后,成倾斜状,其倾斜程度可用流速曲线段与管轴或管壁之间的小夹角——流速曲线段倾斜角表示。流速曲线段两端沿流速方向之距离差称为流程差。显然流速曲线段越倾斜,其倾斜角越大,两端流程差越小。若流层两侧面所受内摩擦力越大,那其内侧面流速越快而外侧面流速越慢,其流速曲线段倾斜角越小,倾斜程度越小,两端流程差越大。值得强调的是,这里只揭示各流层的流速曲线段成倾斜状及其倾斜大致方向的缘由,尚未阐明各流层的流速曲线段更精细倾斜方向的成因。故而假设在泊肃叶流动中i取值0、1、2、3……n划分流层,又按上面述及的各流层所受内摩擦力作用而确定各流层的流速曲线段取向,并与泊肃叶流动中各相对应流层的流速抛物线段取向对比会有大偏差。将各流层的流速曲线段顺势连接成曲线,并与流速抛物线对比也会有大偏差,但与流速抛物线会有一定程度的相似性。这一定程度的相似性表明第1部分的论证有其成效,至少可以说揭示了泊肃叶流动流速抛物线的粗略成因——作用于流层内外侧面的内摩擦力方向相反,使内侧面流速加快外侧面流速减慢,这成为泊肃叶流动不可或缺的基本成因,为揭示各流层的流速抛物线段更精细倾斜方向,为圆满阐明流速抛物线的形成机制奠定了基础。

2 越近管壁流层两侧面流速差越大的成因

无论观察沟渠江河平缓流动还是观察流速抛物线,都可发现越近管壁的流层其内侧面比外侧面流速之差越大,反之亦然,其成因何在呢?为叙述更具条理性,下面将从两个角度进行论证。

其一，假设流层内外侧面所受内摩檫力大小相等。将式(4)和S=2πrL代入式(3)可得作用于半径为r的流层面(实指内侧面)的内摩擦力为

f=πΔpr2，

(5)

为便于凸显内摩擦力对流层两侧面流速的影响，暂时假设作用于任一流层两侧面的内摩擦力之差忽略不计,那流层两侧面所受内摩擦力大小相等，都由式(5)决定，都随流层半径r增大而按r2增大。这意味着越近管壁的流层内侧面被加速的程度越大,外侧面被减速的程度越大,致使内侧面流速比外侧面流速相差越大,反之亦然。

其二，实际作用于任一流层外侧面的内摩擦力比内侧面的大Δf。任一流层i的内外侧面半径分别为r、r+Δr，Δr为流层厚度,将此分别代入式(5),以外侧面的f外减去内侧面的f内,并略去二阶小量(Δr)2，可得外侧面对内侧面的内摩擦力之差Δf为

Δf=2πΔrΔpr,

(6)

流层越近管壁即r越大,由式(6)可知施于流层外内两侧面的内摩擦力之差Δf越大,这意味着流层外侧面减速的程度与内侧面加速的程度相比,二者相差越大,以致越近管壁的流层其内外两侧面流速差Δυ越大,流层的流速曲线段两端流程差越大，流速曲线段倾斜角越小,倾斜程度越小,反之亦然。如i为1的流层Δυ最大,其流速曲线段两端流程差最大,流速曲线段倾斜角最小,倾斜程度最小。随着i增大,r、Δf、Δυ减小，流层的流速曲线段两端流程差减小,流速曲线段倾斜角增大,倾斜程度增大。i为n的流层Δυ为0,流速曲线段两端流程差为0,倾斜程度最大,流速曲线段倾斜角为90°,即流速曲线段与管轴(管壁)垂直，反之亦然。将考虑到如此精确取向的各流层的流速曲线段顺势连接成的曲线可以说是泊肃叶流动的流速抛物线了,这就圆满揭示泊肃叶流动流速与流层半径成抛物线关系的形成机制。显然,论证过程中式(5)(6)起到决定性的关键作用,导不出这两式,就完不成本研究。

3 压强梯度越大流速抛物线越锐的成因

Δp是直管段两端压强差,Δp/L为直管段单位长度(两端间)的平均压强差,称为压强梯度。假定管内为某种牛顿流体亦即η不变,那依据泊肃叶流动的公式(1)可知，对每个Δp/L直管内必定有一条对应的流速抛物线。无疑Δp/L越大,管轴流速越大,即流速抛物线越长、越锐,陡峭程度越大。反之Δp/L越小,管轴流速越小，即流速抛物线越短、越钝,陡峭程度越小。泊肃叶流动流速抛物线随Δp/L成如此变化规律的成因是什么呢? 成因有二:

第一,各流层两侧面所受内摩擦力及其内摩擦力之差均与Δp成正比,是造成流速抛物线随Δp/L成如此变化规律的基本成因。对确定的直管段Δp随Δp/L正比例增大,Δp/L越大Δp也随之越大,由式(5)(6)可知作用于各流层面的内摩擦力,各流层两侧面间内摩擦力之差越大,致使各流层外侧面流速越慢,内侧面流速越快,两侧面间流速差Δυ越大,流速曲线段两端流程差越大,流速曲线段倾斜角越小、倾斜程度越小,将如此取向的各流速曲线段顺势连接成曲线,那这条流速曲线将随Δp越大而管轴流速越大，即流速曲线越长、越锐,陡峭程度越大,反之亦然。这就揭示泊肃叶流动流速抛物线随Δp/L成如此变化规律的基本成因。

第二,第2部分运用式(5)(6)阐明的各流层流速曲线段取向随流层半径越大而倾斜程度越小的规律同样左右着第一中各流层流速曲线段的取向。

将第一、二两个因素结合起来可知,随Δp(Δp/L) 越大,各流层的流速曲线段倾斜程度越小,随Δp(Δp/L) 越大,越近管壁的流层流速曲线段倾斜程度越小,那将这样取向的各流层流速曲线段顺势连接成的曲线,必定是随直管段Δp越大而管轴流速越大，亦即流速曲线越长、越锐,陡峭程度越大,反之亦然。至此就圆满揭示泊肃叶流动流速抛物线随Δp/L变化规律的成因。此一成因的揭示所依据的完全是第2部分所构建起来的理论,这就证明第2部分所构建起的理论是正确的。

4 结论

结论1:无滑流条件和笔者推导出的式(5)(6)是揭示泊肃叶流动形成机制的两个核心因素。正是这两个核心因素使第1、2、3部分能分别揭示流速抛物线的粗略成因、精细成因和随Δp变化规律的成因。在第1部分的基础上第2、3部分揭示泊肃叶流动流速与流层半径成抛物线关系的完整形成机制,从而构建起阐明流速抛物线形成机制的理论,填补其理论空白。论证合情合理,不仅理论论证揭示流速抛物线的粗略成因、精细成因和随Δp变化规律成因的说服力强,而且用本文构建起的理论破释式(1),各种文献中文字描述、图形表达的流速抛物线,以及平缓流动着的沟渠江河中所呈现的流层流态都与之吻合得很好,这表明本文的论证,论点既实在又明确,论据既充分又科学,论证既得法、浅显又有说服力,结论正确符合科学情理。

结论2:在管道中流动的液体其基本趋向是泊肃叶流动。只要入口流量不变,无论以何种流态流入内径恒定、内壁平整、足够长的均匀圆直管道,因其中各液体元非平行管轴的动能都将被内摩擦力耗尽,终将只剩平行管轴的动能,并在式(5)(6)表达的内摩擦力作用下变成和维持泊肃叶流动的理想流态。若入口流量随时间改变,那终将只能成为流速随入口流量改变而变化的层流,而非泊肃叶流动。如在体直动脉段血液作流速随心搏动而改变的层流就是其实例。