三维光晶格在镱原子光钟中的应用研究

张梦亚，谯 皓，彭成权，孙常越，齐启超，周 敏，徐信业

(华东师范大学精密光谱科学与技术国家重点实验室，上海 200062)

0 引言

自从1955年第一个连续的铯频率标准问世以来，它一直发挥着时间频率标准的作用[1]。现在,一些新开发的铯喷泉频率标准报道频率不确定度为10-15。而随着科学技术的进步，光钟显示出巨大的发展潜力[2]。光钟的时钟频率高出微波钟5个数量级，能达到更好的光钟稳定度，以及更低的光钟不确定度[3]。

光钟对物理学研究、计量科学研究和高科技研究均有非常大的推动力，光钟的关键技术在全球定位系统(Global Positioning System，GPS)[4]、高速通信和深空探测等研究领域具有重要的应用价值。精确的光学原子钟具有改变秒定义的潜力，可以在各种科学和技术应用中提高测量精度和传感器分辨率[5]。

并且在近年来，随着飞秒激光频率梳的发展，直接测量光学频率已成为现实。光梳与窄线宽激光器相结合，使第一代基于中性原子的光学原子频率标准和时钟成为可能。为了追求更好的原子钟已经推动了诸多研究领域的发展，例如提供了更好的量子态控制和量子科学的新见解。

现今使用的7个基本国际单位中，时间单位“秒”的测量精度是最高的[6]。时间和频率是倒数的关系，频率可由时间推导得出。光钟的性能指标可分为两方面：稳定度(Stability)和不确定度(Uncertainty)。死时间的存在限制了光钟的稳定度。除此之外，钟探询光频移、环境因素如磁场和温度变化等均会影响光钟系统的稳定度。国际上一般使用阿伦偏差(Allan Deviation)来评价光钟的稳定度[7]。

目前，本小组实验上镱原子光钟通过同步比对2台光钟，得到单台光钟的稳定度为2.9×10-15/τ1/2，在经过5000s时间的平均后，稳定度优于4×10-17。通过同步比对2台光钟研究系统频移，得到了其中单台光钟的系统不确定度为10-16量级，与理论期望值还差2个数量级。

目前实验上所使用的一维光晶格光路比较简单，实施起来比较容易。当冷原子被囚禁在中心区域，受重力的影响，一般通过在z方向上外加一个磁场来抵消重力场的影响[8];此外，磁场还提供了一个量子化轴。但是，这种方案不可避免地存在原子间的碰撞问题[9]。通过三维光晶格，可以实现少数原子占据每个格点的布局，从而大大降低了原子间碰撞导致的光频移[10]。2018年美国天体物理联合实验室(Joint Institute for Laboratory Astrophysics，JILA)小组锶原子费米简并三维光晶格已达到低于10-18的系统频移。

1 冷镱原子光晶格钟

1.1 冷镱原子光钟

光钟由3个主要的部分构成:第一部分是光学频率标准，即囚禁在光晶格中的冷原子产生的光学跃迁频率(图1);第二部分是窄线宽超稳激光光源，它的作用类似于能够产生非常稳定的周期信号的振荡器;第三部分是光梳，它的作用类似于一个精度相当高的光学齿轮，将光波频率和可计数的微波频率相连[11]。目前存在了两种类型的光钟[12]：单离子时钟和光晶格钟。在光晶格钟中，数千个中性原子被捕获在光学势中[13]。光晶格钟已经实现了非常低的系统不确定度[14]。

图1 镱原子用于光钟的原子能级跃迁图Fig.1 Energy level transition spectra of ytterbium atomic optical lattices

冷镱原子光钟实验装置由真空系统、激光和探测系统等组成。激光系统中包含399nm一级冷却光、556nm 二级冷却光和极化光、759nm 晶格光、649nm & 770nm 泵浦光，以及578nm钟探询光和边带冷却光等。其中本文主要讨论晶格光759nm激光由一维方向变为三维方向对光钟不稳定度性能的影响。

1.2 冷镱原子光钟的一维光晶格频移

目前在实验上所用的759nm光晶格激光由Coherent相干公司的钛宝石激光器提供，钛宝石激光器输出的激光功率为4.0W，实验上使用光纤送至真空腔内，激光功率最大为1.1W(图2)。

图2 冷镱原子759nm晶格光实验光路Fig.2 Experimental optical path of 759nm lattice light for cold ytterbium atom

光晶格由光学驻波形成，在实验中用一束来回对打并且聚焦的高斯光束构成一维的光晶格[15]。但是这个一维光晶格光的引入会使原子能级发生移动，光钟产生频移。因此首先需要对晶格光产生的光频移进行分析，进而对该项频移进行实验测量(图3)[16]。

图3 测量光晶格频移Fig.3 Measurement of optical lattice frequency shift

实验中分别测量在#2 759进腔功率为0.98W、0.8W和0.6W不同759频差下的相对频移量，以2台759频差为0的数据点(即fcavity2-fcavity1=0)作为零点处理，根据公式：δv=-αU-βU2对数据进行二次函数拟合，其中β=-2.85×10-7Hz/Er2。

根据以上数据拟合得到极化率α，并对α进行线性拟合α=kx+b，结果如图4所示。

图4 光晶格数据拟合Fig.4 Optical lattice data fitting

拟合数据得到斜率k=1.39219×105Hz/(Er·MHz)，那么可以得到：α=1.39219×10-5×Δv+8.41255×10-5，因此可得到当α=0时的失谐量Δv=-6.043MHz，实验中通过光梳测量#1 759的频率fcomb=394798659.999924MHz。

fcavity1=fcomb-80MHz=394798579.999924MHz，

计算得到魔术波长为

fmagic=fcavity1+Δv=394798573.956924MHz

在晶格光势阱深度为428Er的情况下,对应的频移量为：δv=-αU-βU2=0.08595Hz，得到光晶格频移的不确定度为1.65×10-16。

2 三维光晶格的理论依据

2.1 标量、矢量、张量光频移和魔术波长

三维(3D)光晶格的实现可以大大减小光晶格频移。然而与一维光晶格相比，在三维晶格中，晶格的光偏振不能在空间上均匀，特别是对于具有非零角动量的费米子同位素来说[17]。

激光频率和激光功率并不是一直恒定不变的，由于激光频率的测量误差，导致激光频率偏离魔术频率从而产生光频移[18]。相应地，虽然钟探询光功率很低，但是现阶段由其光功率起伏引起的频移以及频率不确定度不能忽略。

电偶极近似下，可以得到实际钟跃迁频率为

v(λL,eL)=v0+vac≈v0-ΔαE1(λL,eL)E2/2h+

O(E4)

(1)

其中，λL为晶格光波长，eL为激光偏振方向,ΔαE1(λL,eL)=αe(λL,eL)-αg(λL,eL)。

如果只考虑电偶极作用，并忽略高阶项的影响,通过调节晶格光波长λL和激光偏振方向eL，使得上下能级移动相同。当激光波长偏离魔术波长时，晶格光频移主要是一阶光频移起到主导作用；但是当光晶格光在最佳波长位置时，二阶光频移(超极化率变化)将影响光钟的频率不确定度[19]。

在魔术波长的囚禁势中，光强引起的光频移近似为Δv=-Δω·I，而Δω=0时，则原子跃迁频移和光强无关。对应到某跃迁谱线的频移可写成

(2)

其中，ωL是晶格光对应的角频率。|ζFmF〉是一个超精细结构能态，ζ表示主量子数，则对应的原子动态极化率可表示为

(3)

2.2 Mott绝缘态和原子相互作用

在三维光晶格中，3个相互垂直的驻波激光束形成三维光晶格。原子的运动由它们在相邻晶格位点之间的隧穿速率决定。

在讨论Mott绝缘态之前,首先引入了玻色-哈伯德模型,它是讨论超流态-Mott绝缘态量子相变的出发点。对于稀薄的碱金属气体,可只考虑2个原子间的s波散射,原子间的相互作用势U(r)是短程相互作用,远小于晶格常数,可近似用一个δ势来代替

(4)

其中，as表示s波散射长度,m表示单个玻色原子的质量。对于单原子系统能量本征态是Bloch波函数,适当叠加的Bloch波可以构成一套Wannier波函数集w(r-ri),利用玻色-哈伯德模型表示哈密顿量

(5)

εi描述了对不同的格点处的能阶,在本文中考虑它是一个常量的情况。隧穿矩阵元J是在格点i和格点j之间的跃迁矩阵元

(6)

粒子间相互作用由格点相互作用能U来描述

(7)

其中，相互作用势U和隧穿矩阵元J都由生成光晶格的激光控制,U随阱深Vlat的增加而增加。格点能可表示为

(8)

隧穿矩阵元可表示为

(9)

晶格中每个格点只有一个粒子,粒子之间的排斥使粒子从一个格点跃迁到另外一个格点受到抑制。在Mott绝缘态,存在一个能隙△,当隧穿矩阵元J≤U时，能隙等于格点相互作用能U。

由于2个原子间的格点排斥相互作用,一个格点上填充2个原子的态的能量要比原来填充一个原子的态的能级大U,因而要产生激发就需要能量U。所以在Mott绝缘态下,原子在格点之间的跃迁就被抑制了。

当格点之间的能量差等于U时就会出现隧穿。对于光晶格中的冷原子,当原子间相互作用排斥势U足够大以致使得能隙△>0成立时,则表明能谱中存在能隙，从而意味着Mott绝缘态的存在;反之当隧穿矩阵元J增加时,能隙宽度△减少,最终2个能带在激发能谱中叠加,能隙消失,表明超流相的存在。根据以上分析,得到了超流相到Mott绝缘相转变的条件为能隙Δ=0。

3 三维光晶格在镱原子光钟中的应用研究

3.1 应用于镱原子的三维光晶格理论方案

对于费米子光晶格钟，本小组选用171Yb原子，它具有最简单的费米子结构，是研究费米原子光晶格钟的理想原子。

3.2 镱原子三维光晶格的构造

考虑到要构造镱原子三维光晶格光钟，目前讨论了其实施的一般步骤。首先，可将镱原子通过399nm MOT(磁光阱)冷却，然后装载到由三束759nm激光交叉形成的光偶极阱(Crossed Optical Dipole Trap，XODT)囚禁势中。光偶极囚禁势由聚焦的水平光和近竖直光形成，水平光为椭圆形，在水平和竖直方向选择合适的束腰大小。竖直方向的束腰较小，束缚较强，可以抵抗重力势；垂直方向和重力势有个很小的夹角，为高斯光束，为了减小ac Stark频移，此光为圆偏振。

在MOT光关闭之后，温度为几μK的大量原子被装载到光偶极囚禁势中。在MOT囚禁之后，通过短时间内指数减小囚禁深度进行蒸发冷却，通过改变参数，蒸发冷却后的原子数目约为104～105，温度在几十nK。最后，把费米简并气体绝热地装载到三维光晶格中，由于光晶格势阱深度的增加，可以有效地抑制隧穿效应，同时压缩多原子格点。

由于光晶格中原子温度很低，可以通过飞行时间法测量多物质波干涉图像来验证。当缓慢增加晶格光势阱阱深时，可以通过绝热冷却进一步降低原子温度；还可以通过研究超流态到Mott绝缘态的量子相变，实现一个晶格格点一个原子，从而抑制了光晶格中原子的碰撞频移。

量子相变的一个重要特征是达到临界点时激发光谱的变化。当系统从超流态越过临界点进入 Mott-绝缘态时，会表现出绝缘特性。在三维光晶格中，Mott绝缘态下将双自旋简并费米气体加载到三维光晶格的基带中，其中双重占据位置的原子数量被抑制。在这种实验条件下，原子数密度增大，原子间相互作用大大减弱，光频移的不确定度降低。

表1所示为本实验小组镱原子光钟各项频移值以及相应的不确定度。从表1中可以看出，晶格光频移引起的光频移的不确定度较大，目前限制光钟不确定度的主要因素正是晶格光频移。

表1 镱原子光钟评估表Tab.1 Ytterbium atomic optical clock evaluation form

三维光晶格在镱原子光钟中的应用研究主要是为了减小晶格光频移引起的不确定度。在三维光晶格内，简并费米气体中原子占据Mott绝缘态，阻止了多个原子占据光晶格中同一位置。这种单原子占据的特性逐渐降低了晶格中单个原子的相互作用。而且根据三维光晶格理论计算可知，若能实现镱原子三维光晶格，随着原子相互作用的逐渐变弱，可以增加光钟中的原子密度，从而使光钟的稳定性增强，光晶格频移不确定度降低至10-18量级，这对于光钟系统不确定度的提高有着至关重要的作用。

4 应用展望

随着光钟技术不断向前推进，新的技术也推动整个领域蓬勃向前发展。冷镱原子光晶格光钟有着非常巨大的发展前景，三维光晶格这项工作为降低光钟不确定度，提高光钟性能开辟了新的可能性。

本文针对三维光晶格在镱原子光钟中的应用研究问题，分析讨论了镱原子光钟三维光晶格的原理和结构，为实现三维光晶格所需要克服的困难提出了新的理论方案。下一步工作可以从以下几个方面入手：

1)三维光晶格在镱原子真空腔上的光路设计；

2)镱原子Mott绝缘态的实现；

3)实现冷镱原子光钟三维光晶格，测量镱原子光钟光频移的稳定度和不确定度。