巧用数学模型解决中考数学压轴题

董清玲?张艳飞?弓锋辉

摘要：本文以新课标为指导，结合课堂教学实际，在利用点圆、将军饮马等数学模型解决中考数学压轴题的方法进行研究与探索，提出了教师中考复课的策略。

关键词：数学模型;解决;压轴题

2018年陕西中考数学第25题压轴题很好地运用了“点到圆上点，共线有最短（长）”这一点圆模型和“先固定，再放开”的数学思维方法，对中考复课有许多启示。

一、真题展示：

问题提出：（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB= AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为___________。

问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值。

问题解决：（3）如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路，其中：AB= 6km，AC=3km，∠BAC=60°，BC所对圆心角为60°.管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路辺建物资分站点E、F.即，分別在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F.因职工毎天都要将物资在各站点间按P→E→F→P的路径运输，故规划道路PE、EF和FP.为了快捷和节约成本使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+ EF+FP的最小值.（道路的距离、路宽忽略不计）。

二、思路分析：

第一小题：

思路1：垂径定理。作△ABC的外接圆⊙O，OA是∠BAC的平分线，故∠OAC=∠BAC=60°，连接OC，则OC=OA，故等腰△OAC是正三角形。可得半径OA=OC=AC=5.

思路2：正弦定理。由顶角是120°角的等腰三角形三边之比是1：1：知BC=AC=5，再利用正弦定理的变形：R=可得R===5.

第二小题：思路：OM+OP≥PM，由“点圆模型”可知当O、P、M三点共线时，PM最小，此时PM⊥AB并过O，PM=PO+OM=5+13=18.

根据三角形的三边关系：OB+OA≥AB，当且仅当B，O，A三点共线时，OB+OA=AB.即当B，O，A三点共线时，AB取最大值为OB+OA=AB.

第三小题：

求三条线段和的最小值一般解题策略是先做轴对称变换，再用两点之间线段最短，或者用两边之和大于等于第三边（共线时取等号）。

原理：作两次对称，两点之间，线段最短.

据此，本题可以假设BC上一点P点即为所求点，固定P点分别作出点P关于AB、AC的对称点P'、P''连接P' P''，分别交AB、AC于点E、F，连接PP'、PE，PF，PP''，由对称性可知PE=P' E，FP=FP''，AP'=A P=A P''，∠P'A P''= 2∠BAC =120°，PE +EF+FP=P' E+EF+FP'' ≥P' P''=AP'，即当P'、E、F、P''共线时，P' P''即为最短距离，其长度取决于AP'即A P的长度。

由第（2）问知，作出BC的圆心O，连接AO，与BC交于P，P点即为使得PA最短的点，PE+EF+FP≥AP=3-9，所以PE+EF+FP的最小值为（3-9）km.

点评：本题命题者巧妙将所求三角形一个顶点放在特定圆心角的圆弧上，让学生有似曾相识之感，难点是：P在圆弧上何处能使三角形周长最短？找到点P位置后如何说明三角形周长最小？

综上，教师在复习时不能只讲一个大概过程，要着力解决压轴题教学最后一公里的痛点问题，对于真题答案中诸如：“将军饮马”问题中，为什么做轴对称后拉直线段长为最短距离？这一类复杂问题的当堂能进行证明或解释，打消学生心头疑虑。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.義务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]罗增儒，《数学思想方法的教学》[J]，中学教研（数学），2004.7第28页。

作者简介：董清玲（1975.9）女，汉族，陕西省宝鸡市，学历，毕业于宝鸡文理学院，一级教师，数学教育，宝鸡市清姜路中学。

张艳飞（1975.4）女，汉族，陕西省榆林市，本科，毕业于宝鸡文理学院，一级教师，数学教育，宝鸡市姜城中学。

弓锋辉（1974.2）男，汉族，陕西省宝鸡市，本科，毕业于宝鸡文理学院，高级教师，数学教育，宝鸡市渭滨区教研室。