广义轮换测量矩阵及其在水下回波信号压缩感知中的应用

曹红，孙同晶，王红

广义轮换测量矩阵及其在水下回波信号压缩感知中的应用

曹红，孙同晶，王红

(杭州电子科技大学通信信息传输与融合技术国防重点科学实验室，浙江杭州 310018)

根据压缩感知中测量矩阵的性质及要求，在轮换确定性测量矩阵的基础上，通过调整测量矩阵每一列元素的系数，增强列与列之间的相关性，得到广义轮换测量矩阵，并将其应用于水下回波信号的压缩感知观测中。通过无噪声下不同测量矩阵匹配度和相对误差随压缩比的变化，以及4、0、-3 dB三种信输入噪比下不同测量矩阵的输出信噪比、匹配度随压缩比的变化，分别对水下回波信号进行处理，比较其性能。仿真结果表明，相比部分哈达玛等确定性测量矩阵和以高斯为代表的随机测量矩阵，广义轮换测量矩阵在输出信噪比、匹配度、相对误差等方面有很大提高。同时广义轮换矩阵为确定性测量矩阵，便于工程实现。

压缩感知；水下回波信号；广义轮换测量矩阵

0 引言

Shannon/Nyquist采样定理[1](Nyquist采样定理)作为模拟信号与数字信号之间的桥梁，几十年来一直支撑并引导着现代信号处理各个领域的技术发展。该定理对信号采样率的要求较高，为了不失真地恢复出原始信号，信号的采样率一般不低于信号带宽的两倍。由于奈奎斯特采样定理对信号采样率的严格要求，一些难以克服的问题逐渐出现，如数据量过大、处理步骤多等。DONOHO等[2]、CANDÈS等[3~4]在信号稀疏表示的基础上提出了压缩感知理论，克服了传统的奈奎斯特采样定理在信号处理中的一些缺点，对信号的采样和压缩同时进行处理。压缩感知理论从低维空间出发处理信号，避免了在高维空间处理带来的计算复杂度，此过程中测量矩阵起到关键性的作用。它把稀疏信号或者可压缩的信号，从高维空间投影到一个低维空间上，然后采用一定的优化方法从少量数据中恢复出原始信号。该理论在信号处理领域取得了重大突破，它解决了传统采样定理一些常见的不可避免的问题，如采样数据量大、数据存储空间大、采样时间长等。该理论在图像处理和信号处理方面为广大学者打开了一扇新的大门，为研究者取得重大突破打下了良好的基础。

压缩感知分为3个方面：稀疏表示、测量矩阵和重构算法。测量矩阵在其中起到关键性的作用，它不仅影响信号的采样和重构性能，而且在信号的压缩感知中也起着必不可少的作用。在信号处理中，我们采用固定变量的原则，即采用固定的稀疏矩阵作为稀疏基，若重构算法不变，采用不同的测量矩阵分别对信号进行处理，测量矩阵的性能越好，则恢复原始信号的匹配度越大，相对误差也会越小，根据能量守恒原理，为使恢复出的信号与原始信号的能量接近，测量矩阵必须满足的一个条件是有限紧致特性[5](Restricted Isometry Property, RIP)，因此，信号恢复的匹配度和相对误差与测量矩阵有着直接的关系。常用的测量矩阵有两种：随机测量矩阵和确定性测量矩阵。高斯矩阵[6]、贝努利矩阵[6-7]、稀疏投影矩阵[8]等是目前应用广泛的随机测量矩阵。随机测量矩阵的元素具有一定的随机性，且每个元素独立同分布，这使得随机测量矩阵的非相关性很高，因此只需少量的测量数就可以恢复原始信号。已经证实，此类随机测量矩阵可在统计意义下以较高的概率满足RIP。但随机测量矩阵也存在着存储空间大、计算量和时间复杂度大以及工程实现困难等不可避免的缺点。部分哈达玛矩阵[9]、托普利兹矩阵[10]、多项式矩阵[11]等是目前应用较多的确定性测量矩阵。与随机测量矩阵相比，其元素具有一定的确定性，计算量低，易于硬件实现，缺点是与原始信号相比重构效果较差，需要较多的测量数才能精确重构信号。由此可见，确定性测量矩阵的性能与信号重构的效果密切相关，因此构造出自适应的、满足要求的确定性测量矩阵，使测量矩阵的性能得到提高是目前广大研究者的研究方向。本文通过改进轮换测量矩阵，修改每一列元素的系数得到广义轮换矩阵，研究发现其列与列之间的非相关性有了很大提高。仿真实验发现该测量矩阵用于水下回波信号处理中，恢复原始信号性能尤其在信噪比方面有了较大提高。

1 广义轮换测量矩阵

1.1 轮换确定性测量矩阵

托普利兹矩阵是元素值为{-1,1}的随机向量，且长度为+-1；轮换矩阵[11]和托普利兹矩阵在构造方式上相似，其构造方式为：第一行随机生成元素为{-1,1}的向量，且长度为，然后依次循环得到剩下的-1行，其形式如式(1)所示：

从式(1)的结构以及轮换矩阵的产生，我们得到：轮换测量矩阵是通过对第一行不断循环得到第二行、第三行至第行。与托普利兹矩阵存储长度为+-1的构造向量相比较，轮换测量矩阵只需要存储长度为的向量，更加节省空间；由于轮换矩阵是由第一行依次循环得到的，而第一行又是由随机的-1或1组成的，因此轮换测量矩阵与托普利兹矩阵具有相近的性质，且同样满足RIP条件。

1.2 轮换测量矩阵的改进——广义轮换测量矩阵

DONOHO等[12]提出的轮换测量矩阵有3个特征：(1) 测量矩阵的列与列之间要有一定的不相关性，即线性独立；(2) 噪声的不相干随机性要在测量矩阵的列向量中得到体现；(3) 范数最小原则，即稀疏度的解最优化原则。根据以上3个特征，有两个问题存在轮换测量矩阵中：(1) 轮换测量矩阵的元素重复出现率较高，都是1或-1，且是随机性出现，这使列向量之间非相关性也具有一定的随机性，不容易控制；(2) 构造方式单一，仅仅是由第一行不断循环得到，列向量之间的不相干性很难把握，这使轮换测量矩阵的性能时好时坏，容易使相对误差相差较大，不能与以高斯矩阵为代表的随机测量矩阵相比较。

为了避免上述轮换矩阵出现的两个问题，轮换矩阵在通过循环产生时，对测量矩阵列向量与列向量间元素的系数进行修改，产生新的矩阵——广义轮换测量矩阵，从而减少相干性，提高矩阵列向量之间类似噪声的不相干随机性和非相关性。

由上面得到的广义轮换矩阵的结构及分析可知，列向量之间的相关性明显减小，非线性相关性有了很大的提高，同时由于结构的相似性，轮换测量矩阵满足RIP条件，因此广义轮换测量矩阵同样满足RIP条件。

2 广义轮换矩阵在水下回波信号中的应用

2.1 信号重构衡量标准

(1) 信噪比：

(2) 匹配度：

(3) 相对误差：

2.2 仿真实验分析

为了验证本文提出的广义轮换矩阵，选择离散余弦变换[14]作为稀疏矩阵，选择正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[15-16]方法作为重构算法，对图1所示的不同信噪比的回波信号进行压缩重构，选取不同的测量数，将高斯测量矩阵、伯努利测量矩阵、部分哈达玛测量矩阵、托普利兹测量矩阵分别与广义轮换测量矩阵进行对比分析。

图1 不同信噪比下3个亮点的原始回波信号

图2是无噪声下不同测量矩阵匹配度和相对误差随压缩比的变化图。

从图2(a)可以看出无噪声下不同测量矩阵的匹配度都随压缩比的增加而增加，增长的幅度各有不同，在压缩比较小时托普利兹矩阵的匹配度相对较小，为了不影响图的整体效果没参与比较，而广义轮换矩阵的匹配度在压缩比较小时与高斯矩阵、伯努利矩阵、部分哈达玛矩阵相比不占优势，而优于托普利兹测量矩阵，但随着压缩比的不断提高，广义轮换矩阵的匹配度有很大提高，明显优于其它测量矩阵。从图2(b)中可以看出无噪声下各测量矩阵的相对误差随着压缩比的增大而减小。相对误差上，广义轮换测量矩阵明显比其他测量矩阵小，随着压缩比的增大，各测量矩阵的相对误差逐渐接近。

图2 无噪声下不同测量矩阵匹配度和相对误差随压缩比的变化

针对不同信噪比的回波信号采用上述几种测量矩阵的处理结果如图3～5所示。仿真结果表明，在信噪比上，广义轮换测量矩阵的提高量比其他测量矩阵的提高量都高，且随着压缩比的不断提高，信噪比也比其它测量矩阵呈现一定的提高。匹配度上，相比其它测量矩阵，广义轮换矩阵也有一定的提高，但不是很明显。但是由于广义轮换矩阵是确定性测量矩阵，在工程实现上具有重要的实现意义。

为了进一步比较广义轮换矩阵与其它矩阵在不同压缩比情况下的性能指标，表1～3给出了在输入不同信噪比且压缩比/=0.1和/=0.5(为测量数，为原始信号数据)两种情况下的输出信噪比和匹配度的变化情况。从表中可以看出，当测量数较低时，广义轮换矩阵相比其他测量矩阵在信噪比和匹配度上有一定的提高，有略微的优势，当压缩比较大时，广义轮换矩阵在重构性能指标上有较大提高，尤其在信噪比方面。

图5 回波信噪比为-3dB时不同测量矩阵的输出信噪比和匹配度随压缩比的变化

表1 输入信噪比为4 dB时不同测量矩阵输出指标随压缩比的变化

表2 输入信噪比为0 dB时不同测量矩阵输出指标随压缩比的变化

表3 输入信噪比为-3 dB时不同测量矩阵输出指标随压缩比的变化

3 总结

本文主要讨论了广义轮换矩阵，在轮换矩阵的基础上，通过修改每一列元素的系数来增强列与列之间的非相关性。通过广义轮换测量矩阵在水下回波中的应用，与高斯矩阵，伯努利矩阵等随机测量矩阵和部分哈达玛矩阵，托普利兹矩阵等确定性测量矩阵相比较。在有噪声及无噪声条件下，从仿真结果及重构原始信号的指标可以看出，广义轮换测量矩阵比其它测量矩阵在性能指标上有较大的提高；尤其在信噪比方面，当压缩比较小时信噪比的提高较小，随着压缩比的提高，信噪比的提高逐渐增大。另外，广义轮换矩阵是根据条件自适应产生的，属于确定性测量矩阵，易于工程的硬件实现。

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Generalized rotation measurement matrix and its application in underwater echo signals

CAO Hong, SUN Tong-jing,WANG Hong

(Fundamental Science on Communication Information Transmission and Fusion Technology Laboratory, Hangzhou 310018, Zhejiang, China)

According to the properties and requirements of the measurement matrix in compressed sensing, a generalized rotation measurement matrix based on the rotation deterministic measurement matrix is proposed by adjusting the coefficients of each column element of the measurement matrix to enhance the correlation between columns, and it is applied to compressed sensing observations of underwater echo signals. By observing the variations of the matching degree and relative error with compression ratio in the condition of noise free, and the variations of the matching degree and output SNR with compression ratio in the condition of input SNR = 4, 0 and-3 dB, the performances of different measurement matrices in underwater echo signals processing are compared. Simulation results show that compared with some deterministic measurement matrices such as Hadamard and the random measurement matrices represented by Gaussian, the generalized rotation measurement matrices have a great improvement in output signal-to-noise ratio, matching degree and relative error. Also the generalized rotation matrix is a deterministic measurement matrix, which is convenient for engineering implementation.

compressed sensing; underwater echo signal; generalized rotation measurement matrix

TN911.7

A

1000-3630(2019)-06-0623-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2019.06.004

2018-04-24;

2018-07-05

“十三五”预研领域基金项目(6140243010116DZ04001)资助

曹红(1990－), 男, 安徽阜阳人, 硕士研究生, 研究方向为信息融合与信息处理。

孙同晶,E-mail: stj@hdu.edu.cn