抛物线的切点弦方程的求法及性质应用
2020-01-14黄常健
中学生数理化·高三版 2020年12期
黄常健
抛物线x2 =2py(p>0)既可从方程的角度研究,又可从函数的角度处理,因此解决其相关问题的方法也是灵活多样。其中抛物线的切点弦问题是备考研究的熱点课题之一。
一,抛物线切点弦所在直线方程的求法
总结:利用经过两点有且只有一条直线,以及曲线与方程的概念,能轻松巧妙地求出切点弦所在直线方程。从这一过程,我们还可以进一步发现,抛物线的切点弦所在直线方程与抛物线方程之间的内在联系:
有意思的是,当点P (x0,y0)在圆锥曲线C上时,将曲线C的方程作上述变换所得的直线方程正是曲线C在点P(x0,y0)处的切线方程(如方程①,②)。
二,抛物线的过焦点的切点弦性质
例2(2019年武汉调研)已知抛物线C:x2=2py (p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N。
(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;
(2)若△ABN面积的最小值为4,求抛物线C的方程。
圆锥曲线的切线及切点弦所在直线方程的求法,主要是令判别式△一O或导数法。这其中的一些规律和结论值得我们理解和应用。
(责任编辑王福华)