基于双时间窗的多设备串行系统机会维护策略

（上海交通大学 机械与动力工程学院，上海200240）

随着机械加工系统自动化程度的逐步提升，预防维护对于系统生产效率的保障作用愈加突出，尤其在串行系统中，任一设备的失效都易引起生产线的整体停机.因此，制定有效的预防维护策略以保障多设备串行系统高效运行，是目前维护领域的研究热点.

考虑操作便利性，传统的面向多设备机械加工系统的维护研究一般采取定周期的整体维护策略[1]，可有效地减少系统的维护停机次数.然而，在实际生产中，多设备串行系统的设备之间因衰退特性存在明显差异，定周期的整体维护策略无法统筹各设备的个性差异.针对这一问题，周晓军等[2]提出了机会维护策略，基于设备衰退差异进行组合维护，在减少系统停机次数的同时有效节约了成本.

目前，机会维护研究可分为2类：基于动态决策的机会维护策略和基于规则的机会维护策略.动态机会维护[3－7]通常采用短时决策，可更好地反映设备的即时衰退差异，但决策时需枚举可能的维护方案，算法复杂且计算量大，一般适用于由少量设备组成的生产线.基于规则的机会维护通常采用长时决策，目标为制定一种适用于全规划期的静态机会维护规则，进而基于这一规则获得维护方案.如Xia等[8]使用维护时间窗对串行系统的维护作业整合至最先到达的设备最优维护时刻，以降低系统的整体维护成本.朱传军等[9]通过判断机器维护和加工所占用的时间是否冲突来进行决策，在两者冲突时将维护操作尽量提前到前一道工序末尾或者机器开始加工的时刻.Ding等[10]采用基于设备性能状态的维护机会窗策略整合风力涡轮机的各部件维护活动，将参与机会维护的设备的维护时刻提前.Zhao等[11]通过构建维护阈值函数，提出了更为合理的维护机会窗表征方式.由于基于规则的机会维护策略判定过程简单，且不受设备数量约束，相对于动态方法，其操作性更强，在企业中应用也更为广泛.

但是，目前基于规则的机会维护研究成果多在确定当前周期的维护组合后，将组合内各设备都提前至与该周期内最先达到最优维护周期的设备同时维护，意味着除了最先达到维护阈值的设备是按期执行维护活动的，其余设备均为提前，存在一定的不合理性.事实上，从Lin等[12]研究中可以发现，在不同设备的最优维护周期前后时间范围内，维护成本随周期长度变化的幅度较为平缓，且对周期延长远小于对周期缩短的敏感性.这表明，在一定范围内将最先达到最优维护周期设备的维护活动适当推后，对该设备在当前周期内的成本影响较小，却可有效降低规划期内系统整体的维护成本.

本文以多设备串行生产线为研究对象，提出一种基于双时间窗规则的机会维护决策模型，将传统单窗策略中以达到单设备最优维护周期这一停机条件，改为将此作为维护决策触发条件，通过时间窗规则合理推后最先达到最优维护周期设备的维护活动，以获取比单窗策略维护总成本更优的维护策略.

1 问题描述和维护策略

串行系统由m台设备组成，ti，j为设备j执行第i次维护的时刻，对应系统整体进行第r次维护所在时刻tr，即ti，j＝tr.设备衰退特性各异，系统整体停机时并不一定对每台设备均进行维护，因此设备维护计次i和系统维护计次r始终满足i≤r.W为表征设备维护组合的时间窗，w为表征维护时机决策的时间窗.

假设：① 生产过程和生产环境相对稳定；② 生产线连续生产，各设备均不含缓冲区；③ 任一设备的失效都将触发小修；任一设备进行预防维护，整条生产线都将停机；④ 小修不改变设备故障率，仅使设备恢复运转，预防性维护修复非新；⑤ 小修时间和预防维护时间均忽略不计.

假设维护规划期为[0，T0]，通过最小化规划期内多设备串行系统的维护总成本Csys，获取串行系统的最优机会维护策略.决策过程如下：

（1）系统初始化，从零时刻开始运行；

（2）以各设备当前维护周期内维护成本率最低为目标函数，获取设备j在当前维护周期的最优维护间隔T＊i，j，进而得到单设备的最优维护时刻t＊i，j；

（3）以当前系统内最早到达最优维护间隔的设备为准，其最优维护时刻作为现阶段的系统维护决策触发点，即W的起点时刻，记为t＊r，令最优维护时刻落在时间区间[t＊r，t＊r＋W]内的设备参与本次机会维护；

（4）同样，以t＊r作为w的起点时刻，则第r次系统机会维护的最终维护时刻tr＝t＊r＋w；

（5）维护活动实施，更新设备状态，系统继续在规划期[0，T0]内运行；

（6）步骤（2）～（4）保持运行直至规划期结束，搜索使规划期维护总成本最低的W和w取值，即可得到系统的最优维护策略.

2 维护建模和决策

2.1 维护建模

根据上述决策过程，系统的维护建模主要分为两步.首先，以所在周期内设备的维护成本率最低为目标，构建单设备维护模型，获得系统中设备各自的最优维护周期；其次，以系统在规划期内的维护总成本最低为目标，构建系统整体的维护模型，进而基于双时间窗规则获得最优的维护策略.

2.1.1 设备最优维护周期决策建模 传统等周期预防维护建模中常假设预防维护可使设备修复如新[13]，而事实上，设备随着役龄的增加会产生一些不可修复的退化因素.为表征设备的固有退化过程，本文引入修复非新因子θ表示修复效果，由于退化特性，设备在每次修复完成后都能够继续保持运行，但其运行状态不会比前一次修复完成时更优，所以θ在区间（0，1）上取值.设备状态用虚拟年龄来表征[14－15]，假设Ai，j表示设备j在第i次维护后的虚拟年龄，则该设备在第i＋1次维护后的虚拟年龄可表示为

式中：θj表示设备j的修复非新因子；Ti＋1，j表示设备j的第i＋1个维护周期.

设备的维修活动通常分为小修和预防维护，这意味着维护周期Ti，j中产生的维护成本包括小修成本和预防维护成本.此外，设备进行预防维护时会造成生产线的整体停机，因此每个维护周期中还应包含生产线的停机成本.在此基础上，单台设备j在第i个维护周期中的维护成本率可表示为

式中：Cpi，j为设备j第i个维护周期的单次预防维护成本，假设同一设备每次的预防维护成本保持不变，则等于相应设备的单次预防维护成本，即满足Cpi，j＝Cpj；Cdi，j为预防维护引发的系统整体停机成本，其对任意设备均相同，等于每个周期的停机成本，即满足Cdi，j＝Cd；Cfi，j为设备j在第i个维护周期的累计小修成本，其与设备j的单次小修成本Cfj以及第i个维护周期中的累计故障次数ni，j相关.式（2）可改写为

若用λ（t）表示设备的故障率函数，由于其服从连续分布，设备j在第i个维护周期中的累计故障次数可表示为

式中：Ai－1，j表示设备在第i－1次维护后的虚拟年龄；Ai－1，j＋Ti，j表示设备j在第i次维护前的虚拟年龄；Ti，j为决策变量，Ai－1，j的值由式（1）推导可得.

综上，单台设备j在第i个维护周期中的维护成本率可改写为

以 min｛ci，j｝为目标函数进行求解，即可得到设备j在第i个周期的最优维护周期T＊i，j.

2.1.2 系统最优维护策略决策建模 串行系统规划期内的维护总成本为系统中各设备维护成本的累加和，即系统维护总成本同样由小修成本、预防维护成本和停机成本组成，可表示为

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式中：Cfsys为系统规划期内的小修成本总和，与系统中设备数量m、规划期内各设备累计故障次数njf以及Cjf相关；Cspys为预防维护成本总和，其与m、规划期内各设备预防维护次数njp以及Cjp相关；Cdsys为停机成本总和，每次预防维护都将造成系统整体停机1次，因此Cdsys仅与Cd以及系统整体停机次数nsdys相关，而与m无关.式（6）可改写为

结合式（1）和（4），设备j在规划期内的累计故障次数可表示为

式中：Ai－1，j＋（tr－ti－1，j）为设备j在系统的第r个维护阶段前的虚拟年龄.

结合式（7）和（8）可以得到系统在规划期内的维护总成本

以总成本Csys最小为最终目标函数进行求解，即可得到w和W的最优值，即系统的最优维护策略.

2.2 基于双时间窗的维护决策

多设备串行系统的维护周期是系统从本次维护的起始时刻到下一次维护的起始时刻之间的时间间隔.基于设备的最优维护周期模型可得到设备j在设备自身第i个维护周期内的最优维护间隔Ti，j，结合设备第i－1次实际维护时刻ti－1，j，则t＊i，j＝ti－1，j＋Ti，j，即为设备j在第i个维护周期内的最优维护时刻.同时，根据假设，该设备维护周期i对应系统的第r个维护阶段，因此，t＊i，j亦为设备j在系统第r个维护阶段内的最优维护时刻.

在此基础上，为减少系统停机时间，节约停机成本，需将设备维护操作进行有机整合.如图1所示，可使用维护组合时间窗来确定设备的机会维护组合，该时间窗所在区间[t＊r，t＊r＋W]即为系统在第r个维护阶段内的机会维护范围.当该阶段内最优时刻满足ti＊，j≤tr＊＋W时，设备j进行机会维护；否则，不对设备进行任何操作.

图1 维护组合时间窗示意图Fig.1 Maintenance time window for unit grouping

确定系统第r个维护阶段内的维护设备组合后，进行该阶段维护时刻的决策.在传统的单窗策略下，维护时刻的确定方式如图2（a）所示，直接以tr＊作为停机时刻，其余进行机会维护的设备在该时刻同时进行维护.图2（b）所示为在双时间窗策略下的维护时刻决策，以tr＊为决策触发点，引入w，表示设备的实际维护时刻自tr＊向后偏移w，得到tr＝tr＊＋w作为系统在该维护阶段的最终维护时刻，偏移量w为决策量.对比不同w值下的系统维护总成本，取其中令总成本最低的w值为最优解w＊，进一步得到串行系统最优维护时刻tr.

图2 维护时机时间窗示意图Fig.2 Schematic diagram of maintenance time window

3 算例分析

3.1 算例概览和策略对比

式中：α和β分别为Weibull分布中各设备的尺度参数和形状参数，可由这3台设备各自的历史故障数据拟合得到.设备参数如表1所示.

为获得双时间窗规则下系统的最优维护策略，基于MATLAB对系统进行数值模拟.具体决策算法实现流程如图3所示.

图3中，维护模型的决策变量为W和w：W取值以设备最优维护间隔为依据，通过模拟得知，一般情况下设备的最优维护间隔在30d天左右，因此令W取值范围为[0，30]d，搜索步长为1d；大量的模拟实验得到w最优取值一般不超过8d，因此令w取值范围为[0，8]d，搜索步长为1d.在维护阶段r的决策过程中，若t＊i，j满足机会维护条件，即t＊i，j≤t＊r＋W，则在这一阶段对该设备进行预防维护，并更新设备自身的维护周期i＝i＋1；否则，设备自身的维护周期不改变.对系统内所有设备决策完成后，计算实施维护的时刻tr＝t＊r＋w，并更新系统维护阶段r＝r＋1.

表1 设备参数Tab.1 Equipment parameters

图3 基于双时间窗系统的决策逻辑框图Fig.3 A decision flow chart based on dual time window system

为充分体现双时间窗策略在机会维护决策中的有效性，本文设置了基于单时间窗的对照策略进行比较.假定单窗策略在同一生产线上实施，设备参数条件均保持不变.相比于双窗策略，单窗策略只设置了W，即仅判断某设备是否进行机会维护，而维护时机不进行寻优，直接采用t＊i，j作为系统机会维护的停机时刻.在系统的第r个维护阶段内，单窗策略首先计算出t＊i，j，若t＊i，j－t＊r≤W＊，则判断设备j在该阶段进行机会维护，最终维护时刻直接定义为t＊r.

MATLAB模拟结果显示：单窗策略下，当W＊＝17d时，可以获得最低系统维护总成本C′sys＝136 530元；双窗策略下，当W＊＝12d并且w＊＝2d时，系统获得最低维护总成本Csys＝135 620元；可见双窗策略在维护成本方面优于单窗策略.表2为双窗最优策略下系统在规划期内的维护时刻表，表示系统在1～12个维护周期中的停机时刻，其中，“／”表示在对应周期中j不参与机会维护.

表2 系统维护时刻表（W＊＝12d，w＊＝2d）Tab.2 System maintenance timetable（W＊ ＝12d，w＊ ＝2d）

3.2 不同停机成本下的策略对比

对于串行生产系统，设备同时维护可有效减少系统的维护停机次数，进而降低停机成本，因此，停机成本的变动是影响机会维护决策的主要因素，也会直接影响双时间窗策略的应用效果.为了验证双时间窗策略的有效性，在上述串行系统中，令设备的其他参数保持不变，停机成本在400元到3 400元上均匀取值，对双时间窗策略和单窗策略分别进行实验，结果如图4所示，两种策略下的最优总成本都随着停机成本的增大而增大.对两类成本进行具体对比分析，可以发现：仅当Cd为1 400元左右时，两类规则下的最优总成本有少量重合的现象；其余情况下，双时间窗策略得到的维护总成本总是低于单窗策略，这进一步表明了双时间窗策略的优越性.

图4 维护总成本与停机成本关系Fig.4 Relationship between total maintenance cost and shutdown cost

此外，随着停机成本的增大，双窗策略下最优组合时间窗W＊的变化如图5所示，在一定范围内，停机成本越大，W＊值越大.这是因为随着停机成本上升，需要通过增大维护组合时间窗使各设备尽可能地同时维护，以减少系统的整体停机次数，这一结果与实际生产情况相一致.图5亦显示，当Cd增大到一定数值，W＊取值将趋于平缓.以Cd＝3 200元为例，该条件下W＊＝24d，系统的最优维护时刻如表3所示.此时3台设备的维护时刻完全一致，即每次机会维护决策时，所有设备都将同时进行维护.这说明，当W＊取值足够覆盖所有设备时，停机成本的变动将无法继续影响设备的维护动作，此时W＊取值将趋于稳定.

图5 维护组合时间窗与停机成本关系Fig.5 Relationship between maintenance combinition time window and shutdown cost

表3 系统维护时刻表（Cd＝3 400元，W＊＝24d）Tab.3 System maintenance timetable（Cd ＝ 3 400yuan，W＊＝24d）

3.3 其他成本参数下的策略对比

生产线设备的种类繁多，其维护成本及小修成本也各不相同.以3.2小节实验的参数环境作为基准组，定义小修成本及预防维护成本两类参数分别为引入变化因子令成本参数通过调节两者对应的变化因子的大小，得到不同的成本参数组合.

在基准组的基础上，保持其他参数不变，仅调整h1和h2的值进行数值实验，结果如表4所示，在和Cpj按照不同比例放大或缩小时，双时间窗策略所需的维护总成本仍优于单窗策略.

表4 不同h1和h2时的实验结果Tab.4 Experimental results with different values of h1and h2

3.4 设备数量增加时的策略对比

表3和4的实验结果验证了不同设备类型条件下，双窗策略在三设备串联生产线中相对于传统单窗策略的有效性.然而，在实际生产中，各生产线上的设备不仅类型不同，其数目也随着生产工序的复杂程度改变.在表1所示基准组的基础上将设备数量增至8台，具体参数见表5.在单窗策略和双窗策略下分别进行实验，结果显示：在单窗策略中，当W＊＝19d时，得到C′sys＝402 160元；在双窗策略中，当W＊＝18d且w＊＝1d时，得到Csys＝401 630元，显然优于单窗策略，即双时间窗策略在设备数量增加的条件下依旧有效.

表5 不同参数下8台设备生产线实验结果Tab.5 Experimental results of eight units with different parameters

4 结语

本文基于传统的单时间窗机会维护策略，引入多设备串行系统维护时刻的优化机制，提出基于双时间窗规则的机会维护策略.对设备和系统分别进行维护建模，在此基础上利用维护组合时间窗对设备的维护活动进行整合，利用维护时机时间窗对系统维护时刻进行优化.算例分析结果表明，在复杂的参数环境中，相对于单窗策略，双时间窗策略在大多数情况下可以获得更低的系统维护总成本，具有广泛的适应性与稳定性.