高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合途径分析

刘素华

【摘要】本文简单概述了数形结合思想的内涵，并且从不等式、圆的问题两个方面分析了数形结合思想在几何解题中的应用，也分析了其与辅助线在题目中的结合应用.

【关键词】高中数学;几何解题;数形结合

引 言

数形结合是非常关键的解题思路，尤其在几何题目的解答中有良好的应用效果，对于复杂的几何题目，有时需要借助辅助线来明晰图像的已知条件，发现解题的突破口，达到快速解题的效果.

一、数形结合思想

这是分析数学题目的常见思路，数形作为最基本的数学要素，在解题中结合应用，能够实现最佳的解题效果.这是因为数形间具有紧密的关联，能够相互转化和补充，共同支持数学题目的解答过程.尤其是对于几何类的题目，我们借助于数形两种要素的对应关系，就可以将复杂难解的数学关系转化为具象的几何图像，通过分析图像中各数学要素间的空间关系来达到简化题目的目的，进而实现高效的解题过程.

二、高中数学教学中数形结合思想的用途

数形结合思想在高中阶段的教学中有着非常广泛的用途.从宏观上来讲，数形结合的思想方法是作为数学课程教学的主线存在的，具体来说，数形结合思想的主要应用领域包括了以下几个方面.

（一）集合问题的解决

集合部分的知识在高中数学的知识体系中属于基础层面的内容，也是函数部分知识学习的基础.在集合的运算环节，可借助的内容包括数轴、图像.无论是需要经过绘制发挥作用的数轴还是直观的图像形式，都可以非常直观地将集合之间的关系进行清晰的显示，简化语言文字描述中所包含的复杂信息内容，从而提升运算过程的简洁性和有效性.

（二）函数问题的解决

在解决函数问题的过程中，数形结合思想的运用主要体现在函数图像与函数数量关系方面.函数性质的体现通常都是以函数图像作为支撑的.几何图形的呈现形式往往反映着非常鲜明的数量关系.这也是数形结合思想体现得最为显著的一部分内容.除了常规的函数知识，三角函数的相关知识学习中也包含了数形结合的思想，不同的三角函数关系可以通过图形直接进行观察，这在函数关系的判定方面有非常重要的作用.

（三）绝对值问题

绝对值问题的解决中，最好绘制数轴，并且利用绝对值的基本性质方面的理论知识在图像中找到一个宏观上的取值范围，最终解答出绝对值的具体范围.在解答绝对值问题的过程中，数轴的绘制是通过绘图的方式将抽象的求值问题简单化的过程，是数形结合思想实际应用中提高解题效率和准确性的一个典型体现.

三、数形结合的解题思路

该方法在高中数学中的应用较为广泛，主要体现在集合问题、三角函数以及几何题目的解决中.就几何解题而言，先是仔细地审题，清晰几何题目所描述的位置或者数量关系，这是实现数形两个要素相互结合与对应的前提，借此确定问题的突破口，然后进行解题.如果学生对数形结合的理解较为深入，可以自由地实现知识迁移，就会达到举一反三的思维状态，快速解决任何几何题目.

四、数形结合思想的应用原则

虽然从上文的分析中可知大部分的数学问题解决在不同的阶段和对应的内容中都会涉及数形结合的思想，但在实际应用中，这种思想的应用要想取得预期的应用效果需要把握住以下几方面基本原则.

（一）找准知识内容

在实际应用中要结合具体的数学知识内容判断其是否适合于应用数形结合的思想来解决.只有具备匹配性的知识内容，才能取得更好的实际应用效果.

（二）注重教学组织

这一点主要强调教学组织的科学性.为了提高学生的实际教学体验，在展示图像的过程中，教师可酌情选用多媒体工具或先进的计算机系统软件对传统的、具有固定性和抽象性的图像内容进行灵活化和生动化的处理，从学生参与学习的主观感受维度实现优化和完善.

五、数形结合思想的应用

（一）不等式问题的解决

不等式是非常重要的数学知识，复杂的不等式问题，就必须要借助图像思维来解决，在数形结合的指导下实现不等式的转化，最终实现求解过程.

图1针对该题目，我们就需要先根据题目作出实际的可行域，如图1所示.

在解决该题目时，关键是要按照题目所提供的数学要素将可行域作出来，将复杂的不等式问题进行转换，变成简单的距离问题，然后再借助数形结合的思路来推理题目的答案.

（二）圆类问题的解决

圆类问题是数形结合思路的主要应用形式，这是由于圆类的问题基本都涉及很多位置关系.例如为了明晰直线和圆的关系，往往会构建相应的坐标系，这时就能清晰地看到两者间的位置关系，但是这类题目也会涉及解题，这就需要学生明确解题的思路和步骤，也就需要发挥数形结合的作用，达到以数变形的目的.

针对该题目，利用数形结合的方法，也就是根据题目的要求做出相关的图形，如图2所示.

在该问题的解决中，最关键的思路就是数形结合思想，我们在详细分析题目条件的前提下，结合圆与直线的相关知识，最终确定出边界位置，这样就能高效地判断出实际的取值范围.

（三）与辅助线结合应用

这是数形结合思路的基本运用形式，很多几何题目的空间感较为复杂，如果单纯依赖于空间想象力就很难快速解题，所以就需要发挥辅助线的价值.尤其是对于条件较少的题目，学生无法立刻发掘出题目中的各项信息，就可以利用辅助线来凸显图像的特征，为解题提供思路和突破口.

图3例如：在如图3所示的图形中，CB与CA相等，DA与DB相等，而AB边的中点是E，请证明过点E，D，C的平面与BA间的垂直关系.

针对该问题，由于题目中提供的条件较少，而且图像的空间关系较为复杂，因此学生在阅读题目时会无所适从，很难依靠想象来解题.但是利用辅助线就能快速地解题，也就是连接ED，EC，这时学生就能清晰地看到平面EDC，再借助等腰三角形的知识就能够推导出相关的结论，也就是CE与DE这两条线与BA间具有明显的垂直关系，也就可以继续推导出题目中的结论.

经由该题目可知，虽然很多几何图像所呈现的解题信息非常有限，比较容易形成學生的思维障碍，但是在辅助线的支持下，能够让图像的已知条件清晰起来，实现数形结合的优化，消除了学生潜在的思维混乱，然后再配合一定的数学理论就可以达到快速解题的目的.

（四）取值范围问题中的应用

这类问题主要集中在曲线方程中的取值范围问题的解决上.对曲线方程来说，数形结合的关键在于题目的条件中会设置曲线与直线交点位置的实际情况，以此为基础提出相关数据取值范围的要求.在求取值范围的过程中，学生对于相关数学理论知识的理解能力也会得到相应的提升.

（五）函数几何性质判断中的应用

到了高中阶段，函数知识的难度提升主要体现在函数与几何问题的结合.这也为数形结合思想的融合应用提出了一定的要求.尤其是在判断函数的单调性与奇偶性时，数形结合思想的运用能够得到最为典型的体现.下面通过具体的例题分析函数几何性质判断中数形结合思想的渗透应用方法.

六、结束语

几何问题是高中数学的关键内容，涉及的知识点较为复杂，学生必须借助于科学的思路和策略才能快速地解题，而数形作为非常重要的数学元素，相互之间可以转化和补充，所以复杂的几何题目就可以借用数形结合来解，实现数形间的转化，保障解题的效率.

【参考文献】

[1]张艺璇.关于高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略[J].亚太教育，2015（34）：73.

[2]盛雨瑶.高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合途径分析[J].数码世界，2017（09）：249-250.