分枝过程Lotka-Nagaev估计的中偏差

朱艳娇,高振龙

( 曲阜师范大学统计学院,山东 曲阜273165)

1.引言

经典分枝过程的研究开始于1873年,由Galton和Waston在研究英国贵族姓氏的继承与谱系消亡问题中建立,因此经典的分枝过程称为Galton-waston(GW)过程,其定义为

定义1.1设 {pk,k ∈N}为一概率分布,{Zn,n ∈N}为取非负整数值的Markov链且Z0=1,其一步转移概率满足：

其中 {p.∗i}为 {pk}的i重卷积，δi,j为Kronecker符号,则称 {Zn}为GW过程.

GW过程的统计推断中一个非常重要的问题是估计分枝律 {pk}的均值m,常用的统计量为Lotka-Nagaev估计:

我们主要关心的问题是Rn−m如下式偏差概率的衰减速度:

其中l(n):NR+是单调递增函数.文献中一般考虑以下三种情形.

若l(n)=O(1),称(1.1)为大偏差事件.大偏差理论的主要工作就是确定这种事件概率的收敛速度.

若l(n)=O(),称(1.1)为正态偏差事件.渐近正态性刻画了这种事件概率的收敛速度.

若l(n)→∞,l(n)=o(),称(1.1)为中偏差事件,特别地,可取l(n)=n1/2−δ,0< δ <1/2.

关于正态偏差概率的估计早在上世纪70年代就已经解决,分l(Zn)为非随机和随机变量两种情况:

1)l(Zn)=mn/2,此时所得到极限分布不是正态分布,见文[8].

2)l(n)=,此时所得到极限分布是正态分布,见文[3].

大偏差概率的估计得到的稍晚,分别在分枝律为轻尾和重尾的两种情形,由文[1]和文[9]得到.这两个结果最近由文[7-10]推广到了带移民的情形.

对于中偏差概率的研究只见到l(Zn)为非随机的情形,即,l(Zn)=an,其中an→∞且an=o(mn/2),见文[4-5].本文研究l(Zn)为随机变量的情形,即,取l(n)满足:

例如l(n)=nδ,δ ∈(0,0.5).本文恒设

设f为Z1的矩母函数,则Zn的矩母函数为f的n重迭代,记为fn(见文[2]P2).若条件(1.3)满足,则

其中Q(s)为满足下述方程的唯一解(见文[2]P38):Zn+1可做如下分解:

其中 {Xk}相互独立且有共同的分布 {pj},另外,Zn与 {Xk}相互独立.记

首先,在分枝律为轻尾的条件下我们有:

定理1.1设f为Z1的矩母函数,若存在θ0>1,使得f(θ0)<∞,则对任意的ϵ>0有

此结果表明:分枝律的指数矩存在的条件下,中偏差概率是以指数速度pn1衰减的.

称满足p1mr0=1的常数r0为Shröder指数.定理1.1中对Z1具有指数矩的限制可减弱为

定理1.2若条件(1.5)满足,则(1.4)式成立.

最后考虑分枝律为重尾的情形.

定理1.3假设分枝律满足:

其中C >0,ω >3,g(j)∼h(j)表示g(j)/h(j)→1,则n→∞时,有

其中δ ∈(0,0.5),r=−(1+(1−δ)(1−w)),B(r,δ,ϵ)为常数,

此结果表明:分枝律为重尾情形时,中偏差概率是以指数速度(An(r))−1衰减的且分枝律重尾程度的不同会导致中偏差概率衰减速度的不同,即,产生了所谓的“相变”现象.

2.主要结果的证明

定理1.1 的证明取α ∈(1,θ0),β ∈(0,1)则有

由Markov不等式知

记

有u(1)=v(1)=0且u′(1)<0,v′(1)>0.因此可选α0∈(1,θ0),β0∈(0,1)使得

记

由(2.1)式可得φ(n,ϵ)≤2λn.再由全概率公式,

由控制收敛定理及p1−nfn(s)→Q(s)可得(1.4).

定理1.2和定理1.3的证明依赖于分枝过程的调和矩的渐近性质.

引理2.1[9](1.3)式成立的条件下,对任意的r >0,有

其中,An(r)的定义在(1.8)式,

Γ(·)为Γ函数,ϕ为鞅 {Wn=Zn/mn}的极限W的Laplace变换.

定理1.2的证明若(1.3)式成立,注意到其中 {Xk} 相互独立且有共同的分布 {pj},于是

见文[6]P101.因此

由Markov不等式可知

再由全概率公式及Zn与 {Xj}的独立性可得

因r >r0,由引理,控制收敛定理及p1−nfn(s)→Q(s)可得(1.4).

定理1.3 的证明因Zn+1可做如下分解:

其中 {Xk}相互独立且有共同的分布 {pj},另外,Zn与 {Xk}相互独立.记m|>ϵ),由Heyde不等式[9]可知,∀a>0,∃j0(ϵ)使得∀j ≥j0

由(1.6)知存在常数C1,j1使得对j ≥j1时,有l(j)且

记r=−(1+(1−δ)(1−ω)),则r >0,由全概率公式

其中,

若r ≤r0,由An(r)的定义有

于是

再由引理 可得

类似地,有

由a的任意性可知当r ≤r0时结论成立.

当r >r0时,An(r)=p−n1.由(2.2),存在常数C,

由引理2.1及控制收敛定理可得结论.

3.在假设检验中的应用

考虑检验

设拒绝域为:

则犯第一类错误和第二类错误的概率为:

由定理1.1知

另一方面,

注意到Zna.s.→∞,可知βn=o(pn1).

4.鞅收敛的中偏差

其中 {W(k)}相互独立且与W有共同的分布 {pj},另外,Zn与 {W(k)}相互独立.记

利用与定理1.1-1.3相同的方法可得:

定理4.1若存在θ0>1使得f(θ0)<∞,则对任意的ϵ>0,有

定理4.2若存在常数r >max {r0,1},使得E|W−1|2r <∞,则有(4.1)式成立.

定理4.3假设W的分布满足

其中C >0,ω >3,当j→∞,有

存在且为有限正数,其中δ ∈(0,0.5).