以学生为中心的线性代数课程设计

（杭州师范大学理学院 浙江·杭州 311121）

线性代数是数学分支中应用最为广泛的数学学科之一，在计算机科学，统计学，数据分析，经济学等领域都有重要的模型需要以线性代数为手段和工具。线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养。随着大数据、人工智能等技术的发展，当代大学生的线性代数素养也随之亟待提高。

但是由于一些客观原因，学生学习线性代数的效果并不好。以我们杭州师范大学为例，课程结束时，部分学生分不清行列式和矩阵；在4阶矩阵求逆时一些学生会采用伴随矩阵的方法等等。作为典型的代数课程，线性代数虽然是一个逻辑严密的系统学科，但是国内比较流行的教材往往会过于注重体系的建立，没有从学生的角度出发，内容编写枯燥乏味，体系安排不合理，使得课程学习成本较高，从而很难达到预定的教学目标。譬如国内比较流行的教材，绝大部分都是从行列式开始的，然后讲矩阵的基本理论，进而是线性方程组和向量组的线性关系，最后是特征值与特征向量。一上来就讲行列式显得有些抽象，有“劝退”的效果。虽然一类线性方程组的解可以用行列式简洁地表示出来（Cramer's Rule），但是这种方式和中学（初中）求解二、三元一次方程组的消元法没有很强的继承关系，学习成本很高。MIT教授Gilbert Strang的线性代数公开课广受好评，他在其著作《Introduction to Linear Algebra》的序中谈到“众所周知，（在超级计算机上）行列式的运算速度很慢，线性代数课程不应该以n阶矩阵的行列式的公式作为出发点。这些公式有用，但是不是第一位的。”有更激进的作者，其线性代数教材全篇避免使用行列式的概念，如Sheldon Axler在其著作《Linear Algebra Done Right》的序中写到“行列式是困难的，非直观的，在很多教科书里没有给出合适的导入动机。”同时课程往往缺少应用实例的支撑，学生不知道线性代数有什么用处，自然提不起对于学习的兴趣。学生在中学期间养成的应试学习方式会使他们陷于做题，忽略对于数学基本概念的理解，缺乏思维模式的培养和数学文化的熏陶，这很难培养创新型人才。这些在很大程度上降低了学生对于学习线性代数的兴趣，阻碍了创新思维的开发和实际应用能力的培养。因此，我们迫切需要对于线性代数课程的教学进行改革。

我们在任教线性代数课程过程中，体会到上述问题，也在教学过程中尝试一些调整，针对杭州师范大学本科多层次的学生实际情况，秉承以学生为中心的思想设计教案，采用一些可行的手段，从各方面、多角度进行线性代数教学的探索与尝试，在激发学生学习主动性、兴趣的同时，降低了学习成本，也取得了一定的教学效果。

1 充分了解学生学情

学生的学情决定了学习的起点，掌握好学生已具备的数学、科学等素养，可以帮助我们做到有的放矢。为此，我们对浙江省的初高中的数学、物理、化学等学科的教材进行了梳理，找出了与线性代数课程有联系的内容，并加以分析。例如，与线性方程组有关的内容有初中七年级二元一次方程组和三元一次方程组。初中课程对于二元一次方程组求解采用的虽然也是消元法，但是不是标准化操作，操作起来也不轻便，我们需要让学生抓住消元法的本质，同时体会到以前操作的繁琐性，这样才体现出矩阵向量形式的简化是非常自然的。

2 合理安排符合学生水平的知识体系

根据教学大纲，结合主流的教材，会形成以下的知识体系：用线性方程组作为一个引子，以导出行列式的概念，然后讨论矩阵的一般运算理论，再用线性相关性讨论线性方程组解的结构，接着讨论特征值、特征线和矩阵相似对角化，如果是要求较高的专业，最后会选择性地讨论二次型。这样的体系以线性方程组为开端，用消元法推导行列式定义为目的，但是行列式的定义比较抽象，学习成本较高，以此作为开门内容会给学生一个错觉，整门课程都会很难很抽象，进而也容易对这整门课程产生恐惧与排斥，起到“劝退”效应。我们设计的是先借由线性方程组直接发展出基于初等行变换的矩阵形式的高斯消元法。这个和学生已有的线性方程组知识是一脉相承的，同时在第一章就介绍了贯穿整个课程的基本方法——高斯消元法，可以起到一个先入为主的作用，防止学生后续通常会出现的用伴随矩阵求逆矩阵的现象。紧接着讨论矩阵的基本运算，特别是乘法，又给出线性方程组的矩阵表示，给学生以“蓦然回首”的效果。此后可以介绍线性相关性和线性方程组解的结构，作为线性方程组的完结篇，使知识结构富有层次性，从计算，到表示，再到结构探讨。此后我们安排加入行列式，作为对方矩可逆的特征判断，也为特征理论提供一个工具。特征理论相对陌生，但是学生在高中数列中采用过特征方法（未了解原理），我们以此为抓手导入特征理论。最后联系高中圆锥曲线导入二次型。这样安排的教学体系，在执行中也得到了学生的欢迎。

3 合理采用符合学生水平的概念体系

线性代数作为一个典型的代数课程，概念多，且往往有不少等价的概念。我们会根据学生理解难易的角度来选择概念的形式。例如，通常行列式都是以完全展开的形式来介绍，这样做法的好处在于方便理论体系的论证；而我们的课程面向非数学专业的学生，需以计算为主，这行列式的定义不方便计算。我们选择采用按一行（或一列）展开的归纳方式来定义方阵的行列式，因为这样的方法是计算行列式的最主要手段之一，非常实用且易于上手。又如，一般教材中讨论矩阵的秩是在基于行列式的、用子式的方式来介绍，这也是出于理论体系的需求。我们的体系弱化行列式的作用，强化了高斯消元法的作用，在课程开头便以阶梯形矩阵非零行的行数作为矩阵秩的定义。采用这种方式定义秩，既有可操作性，又方便叙述方程解的存在性定理，更利于学生理解消元法的本质。

4 增加知识的应用案例

在我们学校，线性代数是一门公共课，课程面对的专业非常多元：物理、化学、经济金融、电商、计算机类等。一方面为培养学生学习的兴趣，另一方面也展示线性代数的重要性，我们会在课程中加入很多应用性的案例，例如在线性方程组的应用中，我们会采用电路、化学方程组、物物交换定价等案例展示线性方程组的作用；又如在讨论矩阵乘法时，财务表格的计算也可以采用矩阵的乘法，搜索引擎的原理也是矩阵的乘法。

5 建立课程的在线学习资源

为了帮助学生课后学习，我们也录制了线性代数课程视频。除了系统的课程内容，根据多年的经验积累，我们针对于学生的思维误区、概念理解的难点、易错的问题单独录短视频，使得课程视频更有指向性。例如，我们就针对于矩阵的求逆录制一个短视频，把初等变换法和伴随矩阵求逆法做了比较，使得学生可以体会到2阶逆两种方法都可以，对于3阶及以上，初等变换法计算相对简洁。这也使得期末考试中不再出现使用伴随矩阵求4阶逆矩阵的现象。

6 构建多维度的课后交流机制

课堂时间非常有限，除了精心设计我们的课堂教学，我们需要给学生课后以表达的平台。我们会有固定时间固定地点的线下答疑，开通网上如钉钉、微信、QQ等APP的全天候的线上答疑。在交流过程中，我们不仅会解决问题，也帮助学生培养合理的学习习惯和学习方法。特别是疫情期间，为保证课程的有序进行，线性代数课程除了在线授课之外，学生的作业都是在线提交，教师在线批改，快速反馈，及时发现学生的问题，及时指正，同时也及时调整课堂的不足。钉钉等APP支持进行会议模式，直接交流学习，提高学习效率。

以上的改革策略是我们基于在杭州师范大学教学过程中的尝试，不一定会适合于兄弟学校的具体情形，我们只是提供一种思考。当然我们还会在后续的教学工作中不断改进完善，使得线性代数这门课程可以取得更好的效果。