浅谈与专业相结合的概率统计教学改革

管崇虎

（嘉应学院数学学院 广东·梅州 514015）

概率统计是大学本科阶段理工科专业和管理专业的公共基础必修课程，其在工程、经济、生产生活中具有广泛的应用。概率统计课程可分为概率论和数理统计两部分，其显著特点是研究对象为随机现象。通过该课程的学习，可使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，为后继专业课程的学习奠定坚实的基础。尽管概率统计课程的教学内容和教学模式已经较为成熟，但该课程仍有许多值得改进的地方，例如，彭江涛，孙芳认为如何加强数学基础课与专业之间的联系，是目前概率论与数理统计等数学基础课面临的一大问题。王庚认为，由于近些年计算机技术的发展以及现代数学和统计新元素的涌入，使得有必要对概率统计课程的基础知识作恰当的选择、组合和补充等。本文主要以笔者多年的教学经验，结合各专业特点以及当下学生的特点，来谈谈对这门课程教学改革的一些看法。

1 与学生专业相结合的教学改革

概率统计作为一个强有力的数学工具，应起到辅助专业知识学习的作用。因此教师应结合学生所在专业的学生特点以及培养目标，因材施教，寻找适应该专业的教学方式，使学生更容易接受课程的知识的同时能够将其更好地融入到本专业之中。

1.1 结合学生的思维方式进行教学

由于不同专业的学生本身的思维的特点以及所处专业的氛围的熏陶，他们理解事物的方式必然存在一定的差别。例如，数学专业的学生更注重理清事物的逻辑关系，工科专业的学生更注重如何计算出结果，文科专业的学生偏重记忆。教师需要根据学生的特点，尽量从他们的思维方式来制定对应的教学方案以便他们更好地理解知识点。笔者以概率空间的公理化定义这一知识点为例。对于数学专业的学生，可以以几何概型作切入点，讨论可算面积或者是体积的图形应具有的性质，引出关于事件域的三条公理和关于概率的三条公理。而对于工科专业的学生，他们习惯从某一实际问题出发来认知事物，故可以从贝特朗悖论引入公理化的定义，说明对同一随机事件，用不同的角度去计算概率会得到不一样的结果，原因是人们对等可能性没有统一的看法，从而允许在同一样本空间上定义不同的概率测度，因此，人们需要对所谓的“合理”的概率作出规定，即概率的三条公理。而对于非理工科专业的学生，应谈化公理化的概念，引导学生着重于理解概率的每一条公理和性质的直观含义和在现实中的应用。

1.2 结合学生的专业知识和需求进行教学

概率统计作为公共基础课，许多专业的专业课程都需要用到概率统计的知识，然而，学生在刚开始学这门课的时候，往往会产生困惑：我为什么要学这门课？和我的专业有什么关系？这会造成他们对这门课的学习不重视。所以教师在上概率统计的课程中，应当关注学生所在专业的需求，尽量能结合该专业的案例进行教学，例如在经济管理专业的学生上这门课的时候，可以举一些经济学的案例或者是模型，例如在投资决策，市场营销，保险精算等领域的应用。在给生物学专业授课的时候可以探讨生物的种群模型、传染病模型等。也可以简要介绍一些专业课如何用到概率统计，例如许多工科的实验课需要用到统计方法来处理数据，计算机的人工智能、数挖掘离不开概率统计等。这样学生就会明白概率统计在自己专业学习中的重要作用。从而对这门课更有兴趣。

2 结合当下学生的特点的教学改革

2.1 以问题为导向的教学方式

“基于问题式的教学”是目前较为主流的一种学习模式，在这一过程中，学生是学习的主体，老师扮演引导者的角色。这一方式尤其适合于现在正在本科学习阶段的九五后和零零后。因为他们出生于信息爆炸的时代，习惯于遇到问题再去找资料获得知识。在上课之前先提出学生关心的话题让学生思考，可以使学生更加积极主动，例如，在讲假设检验这一章节的时候，笔者不会采用传统的讲授方式，一开始就介绍什么是假设检验，要解决什么问题，可以分为哪些类型等，而是首先提出学生比较有兴趣的实际问题，例如：某手游公布其抽中S卡的概率为0.05，一玩家抽了1000次，抽中S卡的次数有30次，问能否相信该手游的官方数据？学生一看到这么个问题，可能他平时也有过思考但没有得出有说服力的答案，所以自然会对其产生兴趣。然后教师可发起讨论话题：可否因为这1000次抽卡中了30次，抽中的频率为千分之三，比官方数据千分之五要小，来断定官方数据作假？这时候可能会有同学提出可以，也有同学提出有可能只是因为运气的原因导致了抽中次数偏少。教师便可以引导，如何判断到底官方数据正不正确，需要提出一系统的检验法则，从而引出原假设、备择假设、拒绝域、两类错误等相关概念。

2.2 既通俗易懂，又不失严谨

概率统计中的一些概念的理解，对于非理工科专业的学生来讲是有一定困难的。例如大数定律，这是在我们生活中非常常见的规律，掌握好它不仅有利于我们正确理解客观的随机世界，还能帮助我们解决许多实际问题。但怎么样让学生理解好其思想，并不是一件容易的事情。有的老师选择开门见山，上来就向学生展示大数定律的内容，这样学生不容易理解，而且会使学生留下大数定律非常深奥的印象。而有的教师为了让他们容易“理解”，将伯努力大数定律简单概括为“频率的极限是概率”或“频率的极限等于概率是必然事件”等不严谨的观点。我认为，教师首先必须坚持严谨的原则，在此基础上追求尽量通俗易懂。对于伯努力大数定律，教师可以先回顾以前讲过的频率的统计学规律，即当实验次数增加的时候，实验表明频率将逐渐趋于一稳定值，然后便可以提出疑问：这种现象是否是必然的？就是说无论你怎样做独立重复随机实验，频率最终都会无限接近这一稳定值，有没有可能不是这样？如果可能，那它发生的概率有多大？等一系列问题。然后引导学生用概率和极限的思想来考虑这一问题，提出考虑频率与这一稳定值的偏差不超过任意给定的一正数的概率的极限，从而引出伯努力大数定律的内容。

2.3 既注重应用、又不轻视理论

应用是学习的目的，理论应服务于应用。概率统计本身是一门应用性很强的课程，教师在传授理论知识的同时，应培养学生应用这些理论于实际的能力。例如如何利用贝叶斯公式来进行保护个人隐私的抽样调查，如何用中心极限定理来估计保险公司破产的概率，如何用假设检验的思想和方法来辨别日常生活中某些判断的真假等等。要培养学生数学建模的意识，学会如何将实际问题转化成数学问题，然后通过数学方法得到问题的答案，从而解决实际问题。另外、可以根据学生的专业来开设概率统计实验课，通过介绍使用一些相关的应用软件，例如利用Excel软件进行简单数据的处理、利用Matlab软件进行数值计算和作图，用SPSS和SAS等统计软件进行大量数据的处理，用Python软件从网上获得取数据等，来培养学生使用数学软件和统计软件解决实际问题的能力。

另一方面，我们在强调应用的同时，不应忽视对理论知识的理解。目前许多概率统计教学改革中提倡“重应用、轻理论”，笔者个人认为不可取，因为必须要对理论有着充分的理解的前提下，才能合理地将之运用与实际。有学者为了突出这门课的应用性，建议把概率论的内容在这门课中的占比由原来60%改为40%。笔者并不赞成这个建议，因为概率论是基础，相当于是高楼大厦的底层，如果没有掌握好概率论的知识，便很难领悟数理统计的思想，可能最后所掌握的“技能”只是如何套书本上公式或者是如何将数据代入统计软件来解决问题，这种“技能”往往根基不深，容易遗忘。所以这是一种急功近利的想法。更何况，概率论本身也具有很强的应用性。相反如果概率论方面理论基础扎实，并且掌握了数理统计的基本思想原理，那么哪怕遇到没学过的统计方法，也可以很容易通过网上资源进行自学。

2.4 改进考核手段

一次成功的教学离不开合理的考核方式，目前高校普遍存在的问题是考核方式过于单一。期末考试成绩是考核学生的一个主要的方式，学生为了取得高分往往采取急功近利的方式，到考试前一两周才开始通宵学习，对于概率统计这类需要平时积累的课程，学习效果自然不理想，学生可能最终只是死记硬背了公式而不懂得灵活应用。而平时成绩往往只通过统计平时作业的完成情况来评价，虽然一定程度上能督促学生按照课堂进度学习，但在如今这个互联网发达的时代，作业抄袭作业变得更加便利，作业不仅可以通过微信群互相抄袭，还可以借助网上诸如“作业帮”等软件平台找人代做。所以教师收上来的作业往往不能反映学生的真实学习效果，对评价没有多少参考价值。笔者建议，可以用课堂小测分数+课堂活跃度评价+期末考试的评价模式来来代替作业评价+考勤情况+期末考试的评价模式。可以在每一章节讲完后利用课堂半节课时间进行小测，题目可以由作业题稍加修改，学生为了能通过测试，必然会在课后自觉完成作业。此外，在课堂发起讨论话题，答对加分答错不扣分，以回答问题的情况和次数来作为一项考核指标。这样在提升学生学习效果的同时，又可使考核更加的公正公平。

2.5 增进师生交流

大学教师往往给人上课匆匆来，下课匆匆走，具有深厚的学识，却让人高不可攀的印象，这种与学生的距离感，往往并不利于开展教学。所以大学教师应增加与学生的交流和互动，尤其是对于概率统计这类在不同专业中开设的数学基础课，不同学生学习的感受可能千差万别，特别是对于九五后零零后的大学生，在万千宠爱中长大，往往个性比较独立，自尊心比较强。所以教师应多通过各种途径及时了解学生的学习动态和学习感受，来调整自己的教学计划。课堂上应多给予学生发表自己观点的机会，充分尊重学生的想法，对错误的观点不在课堂上立即否定，应加以引导，分析学生产生这一想法的原因，对有创造性的观点应多表扬鼓励，树立学生的自信，利用课间时间与学生聊天，建立课程微信群来了解学生的学习感受。

3 小结

概率统计作为一既具有丰富的理论，又具有广泛的应用的课程，在大学的教学中具有重要的地位，其不仅能培养学生解决日常生产生活中许多实际问题的能力，还能培养学生的理性思维，学会用概率的眼光去看待问题，用统计的观点来评价事物。作为教育工作者，除了应具有丰富的教学技能外，还要能与时代接轨，随时了解学科和专业发展的动向，不断扩充自己的知识面，为该门课的教学补充新鲜的血液，为各行各业输送符合社会发展的人才而服务。