基于改进LuGre摩擦模型的双旋弹丸固定舵翼滚转位置鲁棒自适应控制算法

殷婷婷，贾方秀，于纪言，王晓鸣

(南京理工大学 智能弹药技术国防重点学科实验室,江苏 南京 210094)

0 引言

固定鸭舵式双旋弹道修正弹具有性价比高、结构简单及平台适应性强等优点，已成为当前军事装备领域的研究热点[1]。当舵翼在隔转摩擦力矩、控制力矩和差动舵提供的反向气动力矩作用下到达指定位置时，同向舵为弹丸提供侧向操纵力和力矩，实现二维弹道修正，因此舵翼滚转位置控制是实现弹道修正的重要研究方向[2-3]。双旋弹道修正弹具有非线性时变特性，因此基于该平台的舵翼滚转位置控制系统也是一个非线性系统，主要包含参数不确定性(如随温度及磨损变化的摩擦特性参数、电气增益等)和不确定性非线性(如横风等未建模外干扰、非线性摩擦等)，这些模型不确定性成为限制控制性能的重要因素[4]。

为了提高非线性时变控制系统的跟踪性能，许多学者提出了不同的解决方案。为了降低系统参数不确定性的影响，自适应控制器已被广泛应用，但这些控制器无法处理不确定非线性[5]。然而，横风和非线性摩擦等不确定非线性是双旋弹丸舵翼滚转位置控制中的主要障碍，Alyaqout等[6]提出以鲁棒控制器消除上述不确定非线性的影响，但忽略了参数不确定性的影响。为了同时处理参数不确定性和不确定非线性，Yao等[7]提出了一种适用于非线性系统的自适应鲁棒控制策略，但该方法始终存在控制误差，容易造成弹道修正偏差；Chang[8]提出了一种自适应滑模控制方法，控制误差趋近于0，但由于存在不连续函数，容易造成系统抖振；Patre等[9]提出一种基于误差符号的积分鲁棒与自适应相结合的控制方法，保证了控制精度和控制输入的连续性，但该方法无法处理舵翼滚转系统中的时变外部扰动等不匹配误差。舵翼滚转系统固有的非线性特性以及各种时变不确定性，迫切需要设计更先进可靠的非线性控制策略。

双旋弹丸舵翼与弹体之间隔转机构的非线性时变摩擦特性也是影响控制性能的重要因素。前期试验结果证明，隔转机构摩擦阻尼与鸭舵轴向压力和相对滚转速率有关[10]。为了同时考虑摩擦中的静摩擦、库仑效应和动态转速效应[11-12]，LuGre摩擦模型得到了广泛应用[13]；然而LuGre模型中的符号项不连续，不利于控制器设计。Yao等[14]提出以双曲正切函数近似不连续的符号函数，保证了摩擦模型的连续性。建立双旋通道的连续可微LuGre摩擦模型，是实现舵翼滚转位置控制器设计和分析的重要环节。

基于以上分析，本文针对舵翼滚转位置控制系统，建立包含连续可微摩擦模型的系统数学模型。基于Lyapunov分析法设计了一种将改进的连续LuGre摩擦模型与鲁棒自适应控制相结合的控制策略。该控制方法在在线自适应估计系统参数、摩擦状态及外干扰基础上引入扰动补偿反馈项，以尽可能降低系统对参数不确定性以及时变扰动的敏感度，并通过仿真验证了控制器的有效性。

1 舵翼滚转位置控制系统描述及数学模型

舵翼滚转位置控制系统以基于永磁同步发电机(PMSG)的双旋电磁执行机构为执行器，输出舵翼滚转控制所需的电磁控制力矩。舵翼在电磁控制力矩Mc、气动力矩Ma和隔转摩擦力矩Md的共同作用下到达指令位置，如图1所示。图1中：fd为系统其他未建模干扰，如模型误差、外部横风气流扰动和未建模动态等；u为系统控制输入。

图1 双旋弹丸舵翼滚转位置控制系统原理图Fig.1 Schematic diagram of rudder roll control system in dual-spin projectile

在舵翼滚转位置闭环控制系统中，系统采用高频响应的电磁执行机构，考虑到电气响应速度远远高于机械部分，本文建模时忽略电流环动态，将电流环近似简化为比例环节[15]，根据牛顿第二定律，系统动力学模型为

(1)

式中：J为舵翼转动惯量；θf为舵翼滚转位置；Kn为最大电磁控制力矩相对于转速n的系数；θp为弹体滚转位置；t为弹丸出炮口的时间。

(1)式中的气动力矩Ma由舵翼的舵面尺寸、斜置角和滚转状态共同决定[16]，如(2)式所示：

(2)

为同时兼顾摩擦特征和控制器设计要求，基于双旋弹丸隔转机构的滚转特征，以双旋隔转机构滚转模型代替原模型中的滚转角速度变量，连续可微LuGre摩擦模型可改写为

(3)

式中：ωr为双旋隔转机构滚转角速度；σ0、σ1、σ2为表征摩擦特征的权重因子；z为模型引入的鬃毛平均变形状态量；Fs为静摩擦力；Fc为库仑摩擦力，与双旋弹丸前后级之间的轴向压力有关[16]；a1、a2、a3为表征摩擦特性的形状系数。

为了在实验中优化离散的控制器，定义正定函数N(ωr)=ωr/g(ωr)，则摩擦模型可改写为如(4)式所示的形式。函数N(ωr)的正定性可作为后续控制器稳定性证明的依据，

(4)

(5)

式中：d(t)为未建模扰动。

(6)

系统控制器的设计目标如下：给定系统参考信号x1d(t)，基于所建立的舵翼滚转系统非线性模型，设计一个有界的控制输入u，使系统在存在摩擦、非线性以及时变参数和扰动不确定性问题的情况下，系统的输出x1尽可能快速准确地跟踪x1d(t)。为便于控制器设计，作以下假设：

假设2定义未知参数集θ以及不确定非线性项d(t)均有界，即

θ∈{θ:θmin≤θ≤θmax}，|d(t)|≤D，

(7)

式中：θmin和θmax已知，θmin=[θ1min,…,θ6min]T，θmax=[θ1max,…,θ6max]T；D为未知常数。

2 鲁棒自适应控制器设计

2.1 参数自适应设计

2.1.1 模型不确定性参数集自适应率设计

由于弹药发射条件不完全一致，修正组件也存在个体差异，基于地面和靶场试验的模型辨识参数与实际值间必然存在偏差，即为控制系统的参数不确定性。控制器利用实验得到的模型参数为初始值，采用在线自适应估计的方法，实现对每发实验弹丸参数的准确估计。将对参数集θ的估计记作，将估计误差记作即定义如下参数自适应不连续投影映射函数[17]：

(8)

式中：τi为参数θi自适应函数，i=1,…,6.

采用以下参数自适应律：

(9)

式中：Γ为正定对角自适应矩阵；τ为参数集θ的自适应函数，具体形式将在控制器设计中给出。不连续的参数映射具有如下特性[17]：

∈{:θmin≤≤θmax}，

(10)

(11)

2.1.2 时变非线性摩擦状态量自适应率设计

摩擦力矩与双旋转速和轴向风阻力相关，由于气流扰动，轴向风阻力具有不可预测性。除此之外，摩擦力矩受轴承的各向异性、装配影响严重。因此，摩擦是系统中不确定性非线性问题之一。在LuGre摩擦模型中，状态量z为不可测的非线性变量。该状态量与状态空间方程中的两项有关，需要对两项中的z值分别进行自适应估计，自适应律表示[18]为

(12)

(13)

z的上下界可以根据LuGre摩擦模型推导得出，即zmax=Fs，zmin=-Fs.1和2满足如下性质[18]：

zmin≤j≤zmax，

(14)

(15)

2.1.3 非线性时变扰动上界自适应率设计

弹丸飞行过程中，气流不稳定造成的舵翼滚转位置抖动和未建模的电磁执行机构电气动态特性等均为系统扰动因素。由于扰动上界是未知状态，需要对扰动上界进行估计，自适应律可以表示[19]为

(16)

(17)

式中：D的上下界可根据前期试验数据推导得出；满足如下性质[19]：

Dmin≤≤Dmax，

(18)

(19)

2.2 基于改进摩擦模型的鲁棒自适应控制器设计

定义舵翼滚转控制系统位置跟踪误差e1、辅助误差量e2以及正定反馈增益k1分别为

(20)

传递函数H(s)=e1(s)/e2(s)=1/(s+k1)是稳定的，即e2与e1同步趋近于0，s为复变量。基于e1与e2的同步性，系统控制器的设计目标可由使得输出x1尽可能快速准确地跟踪x1d(t)，转化为使得e2尽可能地小。

结合(6)式和(20)式，可得

(21)

设计鲁棒自适应控制器u为

(22)

式中：k2为正定反馈增益；ua为具有在线参数自适应功能的可调整模型补偿项；us1为线性负定反馈项，用来稳定系统的名义模型；us2为用于处理建模不确定性的非线性鲁棒反馈项。

将(22)式中的控制参数u代入动态方程(21)式，可得

(23)

式中：φ[f1ua,f2,f3x2,-1,N(x3)2,-x3]T；设计鲁棒项

(24)

在呈现所设计控制器的主要性能之前，先给出本文中将要用到的控制器参数的数学特性。

2.3 控制器的稳定性证明

在给出控制器的稳定性证明之前，先确定参数自适应律中的自适应函数τ、η1、η2和ψ如下：

τ=φe2，
η1=x3-N(x3)1-γ1e2，
η2=x3-N(x3)2-γ2N(x3)e2，
ψ=γ3e2，

(25)

式中：γ1、γ2、γ3分别为正定的自适应学习增益。

选取如下Lyapunov函数：

(26)

求(26)式函数V对时间微分，并结合(20)式、(22)式和(24)式，可得

(27)

由θ1≥θ1min、|d(t)|≤D和投影函数特性，可得

(28)

根据引理2，可得

(29)

由引理3，可得

(30)

结合自适应函数τ的特性及θ的投影特性，可得

(31)

根据LuGre摩擦模型中z的动态特性，可得

(32)

结合自适应函数η1和η2及z的投影特性可知，

(33)

整理(33)式可得

(34)

将(34)式对时间进行积分，结合引理1，可得

(35)

3 仿真实验结果及分析

为了验证控制器的有效性，结合前期实验数据建立舵翼滚转位置控制系统仿真模型。模型以155 mm炮射高旋弹丸外弹道特性为输入，给定阶跃形式的位置指令x1d(t)=1，t>20，对舵翼滚转位置控制系统进行仿真。为了评估控制器的稳态跟踪性能，以前期靶场试验数据为参考，外部干扰和反馈测量噪声分别选取幅值为0.03和5×10-4的随机噪声。分别选取以下5种控制器进行双旋弹丸固定鸭舵滚转位置控制的对比仿真。

1)本文所提基于改进LuGre的鲁棒自适应摩擦补偿控制器(RALuGre)。舵翼滚转系统参数如下：J=2.757×10-4kg·m2，S=0.018 9 m2，d=0.155 0 m，H(0)=0，δ=4°.控制器增益k1=200，k2=15，选定与系统仿真模型存在偏差的参数作为参数集自适应的初始值：(0)=[0.3,-1×104,4×10-5,1,0,8×10-5]，1(0)=2(0)=0，(0)=0.01;界限：θmax=[1,-1×102,4×10-4,10,10,1×10-4]T，zmax=-zmin=0.1，θmin=[0.1,-1×105,4×10-6,0,-10,1×10-5]T，Dmax=0.1，Dmin=0；对角自适应律矩阵选为Γ=diag{0.01,1,1,1×104,1×102,10}；γ1=γ2=1×10-5，γ3=100.

2)基于摩擦补偿的鲁棒控制器(RLuGre)。在RALuGre控制器的基础上去除参数自适应，对比验证参数自适应对于非线性时变系统的重要性。

3)基于摩擦补偿的自适应控制器(ALuGre)。在RALuGre控制器的基础上去除基于扰动估计的非线性鲁棒补偿项，对比验证鲁棒补偿项的重要性。

4)鲁棒自适应控制器(RAC)。RAC控制器参数值与RALuGre参数值相同，对比验证连续可微摩擦模型的可靠性以及摩擦补偿的必要性。

5)基于速度前馈补偿的比例- 积分- 微分(PID)控制器(PIDVF)。将舵翼滚转位置误差项转化为速度误差，并基于速度闭环进行前馈补偿。

为了评估控制算法的性能，将控制响应时间Tc、最大跟踪误差M、平均跟踪误差μ以及跟踪误差标准差σ作为性能指标，结果如图2、图3和表1所示。

图2 舵翼滚转位置动态响应曲线Fig.2 Response curves of rudder roll position control

图3 舵翼滚转位置控制跟踪误差曲线Fig.3 Error curves of rudder roll position control

从图2和图3中的曲线以及表1中的统计数据可以看出，经典PIDVF对于高度非线性时变扰动系统控制响应较为缓慢且跳动较大，而RALuGre、RLuGre、ALuGre和RAC均优于PIDVF.RALuGre的跟踪误差小于RAC，证明了基于改进LuGre摩擦模型的参数估计和补偿方法更精确；RALuGre和RLuGre曲线证明了时变参数自适应估计对于稳定控制的必要性；对比ALuGre和RALuGre可知，在控制器中加入扰动补偿鲁棒性，系统跟踪误差可进一步减小。

表1 不同控制器的控制性能指标参数Tab.1 Performance indexes of rudder roll position controllers

由5组仿真实验结果可知，RALuGre控制器的优越性如下：RALuGre控制器采用在线自适应方法对不确定性参数进行估计，同时结合LuGre摩擦模型对摩擦特征量进行估计，继而在对外部扰动上界进行估计的基础上利用鲁棒反馈项进行补偿。

综上所述，本文仿真结果验证了所设计基于改进LuGre摩擦模型鲁棒自适应控制器的有效性，控制器能够很快收敛并趋于稳定，验证了本文设计方法的稳定性和可靠性。

4 结论

本文以基于PMSG为电磁执行机构的舵翼滚转位置控制系统为研究对象，建立了包含改进连续可微LuGre摩擦模型的系统状态方程，推导得出了鲁棒自适应控制器。设计自适应律估计不确定性参数、摩擦特征量以及时变扰动的上界，根据估计结果设计鲁棒反馈项和模型补偿项。最后基于Lyapunov稳定性理论证明了系统的全局稳定性；通过5种典型控制器的仿真实验结果对比验证了本文所设计控制器的有效性和可靠性。得出以下主要结论：

1)基于鲁棒自适应控制方法所设计的鲁棒补偿项和模型补偿项，能够有效削弱参数不确定性和包含摩擦和外部扰动的不确定性非线性对系统控制性能的影响。

2)基于改进连续可微LuGre摩擦模型的鲁棒自适应控制方法实现了对非线性摩擦状态量的较好估计，对比实验结果表明该方法能够大幅度降低跟踪误差的幅值。

本文旨在为双旋弹道修正弹固定舵翼滚转位置控制系统提供控制策略和方法，考虑到电磁执行机构的动态特征会对舵翼位置控制系统高频动态产生影响，后续将针对该影响因素开展更深入的研究。