一道教材原题的探究与变式

熊宇红

【摘要】教學过程中，教师要精心设计变式训练，引导学生在变化的过程中寻找不变的本质，在不变的现象中探究变化的规律.

【关键词】问题提出;问题分析;问题解决;一题多变

一、问题提出

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由;若不变化，试求这个定值.

分析 （1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标.

（2）由于∠EBP=45°，所以图13是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE，由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，并借助三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的值.

（3）由（2）中已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE的周长等于AO+CO=8，从而解决问题.

本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了学生利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强.熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键.

一题多变可以激发学生学习的兴趣、培养学生发散思维能力，还可以培养学生在变化的过程中寻找不变的本质，在不变的现象中探究变化的规律，从而达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.

[3]G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.