黄金分割展魅力 图形变换搭平台

备受关注的2020年安徽省初中学业水平考试已经落下帷幕.在“新冠疫情”背景下，平面几何压轴题难度如何定位，以哪个经典图形作为题根，重点考查哪些知识点等成为一线数学教师重点关注的对象.当仔细研究2020年安徽省学业水平考试数学卷第23题（以下简称试题）后，笔者不得不佩服命题组老师高超的命题技巧，为了兼顾城乡差别以及“疫情”防控背景下的网课教学现状，试题难度较往年虽有所降低，但仍然是一道清新、亮丽、内涵丰富的平面几何压轴题.1 原题呈现

3 试题教学导向分析

3.1 强化推理及运算，提升学生基本数学素养

章建跃博士提出：“运算是数学的童子功，推理是数学的命根子”.而通过阅卷发现：很大一部分学生逻辑混乱，等角转换想当然;把几何直观等同于几何推理;辅助线添加不规范，更有甚者写了一大堆与证明无关的过程等.试题第2问基本思路就是借助三角形相似得出比例式，通过设未知数建立一元二次方程，可通过阅卷却发现很多同学比例式及方程呈现都没有问题，反而在最不该出现问题的方程求解上出现了问题，要么是解错方程，要么是方程的求解书写不规范，不得不为此处的失分而惋惜.这些现象的大面积出现，说明初中学生的基本数学素养堪忧，也提醒一线数学教师只有从最基本的推理、运算入手，不惜时，不惜力，才能扎实提高学生的基本功，从而养成严谨思维，规范表达的良好习惯.3.2 动静结合，注意图形变换的“度”

平移、旋转、对称是平面几何的三大变换形式，通过“三大变换”实现图形的自然生长，也是图形再创造的重要途径之一.对于动态图，部分“学优生”比较熟悉“以动制静，动静结合”的解决策略，但有时对一些静态图反而找不到好的处理方式，实际上对一些静态图若从动态的角度思考，反而会有一种豁然开朗的意境.但教学的现状反馈：对于现阶段的初中毕业生来说，通过图形变换来进行推理的能力还是比较欠缺的.如在阅卷中发现：虽有部分同学通过旋转来叙述推理过程，但却没有交待旋转后的点为什么落在相关线段上等问题而导致失分.所以在具体的教学中，图形变换的“度”一定要拿捏准确，教师可以主动引导学生从平移、对称、旋转变换等角度来思考问题，以提升学生对图形的识图能力，但在具体的推理过程中还是要尽量回避.当然，当学生进入高中阶段并熟悉了“三点共线”，真正搞懂了图形变换的“门道”后，对称、旋转、平移变换不失为解决问题的一种好方法.3.3 立足教材，提高教学研究水平

2020年安徽省初中学业水平考试取消了《考试纲要》，《课程标准》成了命题的唯一依据，而教材是解读《课程标准》的最佳范本，是教材编写专家集体智慧的结晶.试题取材于课本上的经典图形（黄金矩形），借助黄金分割点构成矩形背景下的“十字架”结构设计问题，试题源于课本，高于课本，补出相应的正方形后可以发现，试题的图形又是2017年安徽省初中学业水平考试的第23题图形的自然生长图，是2017年安徽省学业水平考试第23题的再研究、再创造.在日常教学中，教师要充分发挥教材中经典图形的功能，立足教材研究试题，让学生掌握学习数学的基本方法，形成解决问题的基本策略.对典型例习题，深挖其内涵，通过追本溯源、自然生长等方式，研究试题的前世、今生及发展，认真探索一题多变，一题多解，一图多用的教学方式，以提高学生的学科素养，同时提高教师自身的教学水平、教学品位.3.4 课标是底线，解题教学需拓展

从阅卷情况看，试题的解决虽然大部分学生是从图形变换（旋转、平移、对称）的角度思考各种解法，但仍有相当一部分学生采用了“四点共圆”、平移+旋转、黄金比+相似、解析法、托勒密定理等各种方法.如果以《义务教育数学课程标准（2011版）》及教育部公布的《命题意见》中呈现的负面清单来说，学生的答题似乎有“超标”之嫌，值得商榷.然而作为平时的解题教学，应倡导反思，在反思中将成果扩大，注意对问题深层结构的揭示，促进优秀学生深刻理解.因此在平时的解题教学中，对于有些内容，如“射影定理”、“四点共圆”、“圆幂定理”等知识点，不能因为《课标》不作要求，在教学中就完全不涉及，事实上，对于部分“学优生”来说，掌握这些内容完全没有问题，让这些学生“吃好，吃饱”也是一线数学老师的义務.著名教育专家李庾南老师就曾表达过“课标是底线要求，不是天花板”的观点.

参考文献：

[1]王云峰.“直角三角形外接圆截直角平分线”数学模型探究[J].中国数学教育，2016（5）：59-64

[2]高厚良.“源于古埃及三角形，终于黄金比”[J].中学数学杂志，2017（8）：62-65

[3]章建跃.“核心素养导向的高中数学教材变革”[J].中学数学教学参考（上）.2019（6）：6-11