哪种解法，更适合学生？

顾颖 程军

近日在初三数学解题研讨活动中，备课组成员在做常州2020中考数学第27（2）时，对于市场上提供的参考答案出现了激烈争论，并提出了不同的见解和解法，到底哪种方法更适合学生？现将研讨主要过程摘录如下，以飨读者.

1 原題呈现

首先连接MN，根据两点间距离公式求出MN=25，作NE⊥MF，根据特征数含义，求出NE=10，设E（a，b），再根据两点间距离公式，把NE用a，b表示出来，在Rt△MNE，运用勾股定理结合两点间距离公式，列出方程组，下面的问题交给解方程组即可，有2组解，正好求得两个点，从而解决问题.这种方法避开了构造基本图形的难点，解题思路简洁，主要精力集中在解二元二次方程组上.

3 究竟哪种方法更适合学生

上述四种解法，其中前三种都涉及到了构建基本相似图形，说明初中数学解题教学中，建立模型十分重要，建模能力也是数学六大核心素养之一，教师应努力向学生渗透数学建模意识，培养构建基本图形的能力，模型思想有利于促进学生思维定式的正迁移.

解法四比较特别，一看就是高中的解析几何法，没有模型的影子，就是利用两点间距离公式，结合勾股定理，理解没有难点，但真正算起来，超出了初中阶段教学要求（二元二次方程组，目前初中不作要求）.两点间距离公式是高中内容，其实质是勾股定理的拓展，在平面直角坐标系涉及到点点距离经常碰到，建议有条件的话可以补充.

3.1 若学生有确定性思想引导，则解法二最适合学生

解法二运用数学确定思想，知道Rt△MNH是确定的，即它的三边都已知，它的形状大小唯一确定，可求.通过构造的△MSN和△HTN全等（或相似，且相似比已知），从而可以表示两三角形对应边之间的关系，结合几何图形性质，设其中一条线段长为a，找到数量关系，列出方程，此时方程往往比较简单，运算量小，基本秒解.有了确定性思想，学生往往解题方向明了，思路清晰，直入主题.这种做法直观操作性强，有一定思维量，运算简单，但容易漏解.要多画图形，综合考虑各种情况.

3.2 从不遗漏解答情况的角度看，则解法三更适合学生

解法三与解法二最大的不同是，不漏解，虽然只研究一个图形但包含了两种情况.先设坐标F（a，0），用横坐标表示线段长，通过勾股定理和基本图形，列出方程（出现平方），这里平方包含了两种情况，避免了漏解情况，这是解法三的优势.但列出的方程3a2+26a-77=0解起来有点难.

3.3 从思维力度轻重看，解法四显得更“短平快”

解法四则完全抛开了模型构图，先设坐标，用两点间距离公式表示线段NE和运用勾股定理列出方程MN2=ME2+NE2，思维量小，重点在解方程组上，解题效果很好，不易漏解，应试效率高，在考试争分中也有一席之地.

显然解法一学生容易想到的，但最难实现，主要是涉及到分式运算繁杂，运算量大，教学时可以研究但不值得向学生推荐.解法二和三是目前课堂教学解题的主要方向，渗透了建模思想，考察了学生构建基本图形的能力，确定性思想和方程思想都是核心素养的重要内容.

4 对今后解题教学的启示

4.1 注重构建基本图形的解题模型，培养学生数学直觉和数学建模能力

“一线三等角”（“即K字型”）、“母子型”相似等是相似中的非常重要的基本图形;、“直角三角形（等腰直角三角形）”等图形都是解题常见的基本图形.基本图形具有强大生命力，经得起实践检验，往往蕴含着基本知识和基本方法，在复杂图形中，能找到或构造基本图形，可以直接获取基本图形所蕴含的结论和方法，实现思维跳跃.平时教学时引导学生熟悉图形，熟记结论，多多积累经验，培养学生观察力、联想力.心中储藏的基本图形多了，熟悉了，解题时数学直觉自然而然就产生了.解法二、三都构造了基本相似模型，图形简单，结论有用，威力无穷.

4.2 注重渗透数学确定性思想，培养学生数学逻辑推理能力

要带着确定性思想分析，树立“确定的必可求解”的意识，特别是三角形的确定性特征.在学习全等三角形时，出现了“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”等方法，满足上述三条件，三角形形状大小就唯一确定，这就是三角形的确定性思想的体现.又如锐角α的正切值为13，尽管α不知道确切值，但要明确α角度已知.这种确定思想十分重要，如上述解法二中的直角△MNH，两边已知，它就是一个形状大小唯一确定的图形，“K字型”Rt△MSH和Rt△NHT的边之间有必然的数量关系，为下一步列出方程指明了方向.确定性思想有利于培养学生数学逻辑推理能力，优化解题策略，提高解题能力.

4.3 注重必备的运算技能，培养数学运算能力

运算能力一直是初中学生数学学习的硬伤.学生普遍计算能力弱，一算就错.数学运算是初中数学六大核心素养之一，可见基本的数学运算是学生必备素养，教学时注重提升学生的计算能力.法一涉及到分式运算和解分式方程;法三涉及到解一元二次方程（十字相乘法），法四涉及到求两点间距离，解二元二次方程组，都要运算，可以说，没有运算就没有真正的数学.运算技能越早抓越有利，并且应螺旋上升，不断提高，如基本的口算能力，有理数的运算能力，分式的运算能力等等在不同学段有不同体现.