例谈考查“关联直觉”的中考数学试题

孙朝仁 朱桂凤

关联直觉具有瞭望功能，起于概念直觉，终于应用直觉和创新直觉.2020年苏州市中考数学试题清爽干净，约简精致.集中考查了学生的概念直觉、应用直觉和创新直觉.其中，第9题、第10题、第18题考查了概念直觉，第21题、第22题、第27题考查了应用直觉，第25题、第26题、第28题考查了创新直觉，突出直觉的相似性、相关性和连续性考查特色，体现了选拔和育人并重的新思路.

本文主要以第18题、第26题、第28题为例，说明关联直觉考查的路径、方法和意义，旨在说明考试命题选拔功能不在于“难倒一片”，而在于“约简精致”.1 试题呈现与解法分析

2 试题考查要素分析与关联直觉考查

关联直觉是数学创造的开端，是中考数学试题的上位考查目标.关联直觉[1]包括序的直觉、相似性直觉、相关性直觉、数量关系直觉、映射关系直觉、连续性直觉、对称性直觉等.2020年苏州市中考数学试卷第18题考查了画图建模，不仅涉及平行线、角的平分线、等腰三角形、菱形、勾股定理等概念直觉，而且涉及代数思维及参数思想、数形结合思想、化归思想、方程思想等相关性直觉;第26题考查了全等变换、等腰直角三角形的性质、转化思想、局部整体思想、特殊一般思想以及代数思维、数学构造等相似性直觉;第28题考查了圆的概念、圆周角定理、垂径定理、正方形的判定与性质、相似变换、割补法、转化化归、动点思想、最值问题、方程思想、变量意识、函数思想等连续性直觉.具体分析如下.

2.1重视考查“相关性直觉”，使得“数学抽象”的考查目标有序落地

相关性直觉是“会一题、通一类、连一片”的思维承担载体，是构造数学的前提.每一位成熟的数学家都会有层出不穷的新想法和新问题，而这些新想法和新问题往往是依靠关联直觉和类比联想产生的，是相关性直觉发挥作用的过程及其结果.第18题就是考查相关性直觉的生动例子，是数学创造的表现形式.具体来说，一方面，“画图→作法→构造”是一种逆向关联，较好地考查了学生的“逆抽象”能力，突出“知其然→知其所以然”的追本溯源能力的考查，比一般的给出组合图形、画图作答，更能有效考查学生对数学对象的把握度;另一方面，“平行线+角平分线=等腰三角形”是建立概念表象体系的模式抽象，突出对知识之间内部关系的相关性直觉的心理水平考查;第三方面，“直觉关联→方程思想”是建立数量关系直觉的必经之路，突出对符号抽象表征的思想方法体系的考查.这些相关性直觉的考查，有助于横向关联和纵向贯通，能进一步促进教师站在系统思维的高度，实施结构化教学，这才是相关性直觉考查的本体意义.

当然，相关性直觉不止于抽象出一个具体的关系式，更在于让“数学抽象”核心素养目标得以“落地”，能通过“考”，切实引导“教”的方向，引领学生“学”的方式，这才是考查数学抽象的“形而上”思想.从直觉相关性来看，数学抽象的过程可以划分为约简阶段、符号阶段、普识阶段[2].

（1）约简阶段是把握事物的本质，把繁杂的问题简单化、条理化，并能够清晰地表达.该卷第9题就是考查数学抽象约简阶段的好例子，即把“无序”转化为“有序”，把“未知”转化为“已知”，将求角的度数问题转为用三角形的内角和求解问题，突出化归思想.

（2）符号阶段是去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经约简化了的事物.如，第10题就是考查符号阶段的好例子（原题：平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图像经过C、D两点.已知平行四边形OABC的面积是152，求B点的坐标）.可设B点的纵坐标为b，通过相似变换，在点D（3，2）的参与下，可知点B的坐标为（32b，b），结合平行四边形面积、反比例函数关系，可知C（6b，b），进一步可得方程关系（32b-6b）×b=152，至此，获得正确答案不困难.其中，方程关系的抽象，标志着符号抽象关系的建立.

（3）普适阶段是通过假设和推理建立法则、模型或模式，并能够在一定意义上解释具体事物.该卷第18题从解答中抽象出“平行线+角平分线=等腰三角形”的结论，就具有普适性和一般化特征，是思维高度相关并约简的好例子.

简而言之，无论数学关系约简、符号抽象、还是模式建立，都是相关性直觉直接作用的结果，能有效地考查数学抽象这一核心素养，能引领后续课堂教学方向，这就是成功的命题、精致的好题.

2.2 突出考查“相似性直觉”，使得“数学推理”的考查目标有效落地

相似性直觉，顾名思义就是前一个问题解法能为后面的问题作答提供经验，或对后一个问题的解答有所启示、启发，并且问题解决的思维方式具有承继性关系，突出特殊一般思想、“见木见林”的整体思维或者结构化思想.如，该卷的第22題就较好地考查了整体思维、结构化思想.具体来说，考查了统计思想、环保意识、样本估计总体、随机抽样以及中位数判断方法、算理算法等应用直觉或相似性直觉.其中，“抽样调查→样本估计”是一种整体思维和结构化思想，较好地考查了统计学部分重要的概念内容.而“垃圾分类”情境设置带有新时尚的政策色彩，有助于引领社会生活朝向和养成良好生活习惯，不失为一个好问题.数学家麦克来考指出，“数学的发展就是利用经验和直觉的洞察力去发现合适的形式结构，对这些结构进行演绎分析，并建立这些结构之间的形式联系.”这里的“经验→洞察→形式结构→形式联系”就是相似性直觉发挥作用的过程，包括用合情推理探索思路，用演绎推理证明结论的过程.如，该卷的第21题原型是课本方程领域的内容，命题者从不等式的角度进行考查，问题精当，内容精致，较好地考查了学生的相似性直觉.其中，“方程模型→不等式模型”本身就是结构关系的变化、经验增值的表现，考查了学生的认知结构水平，是学生“学得好→考得好”的心理基础.

诚然，数学是思维的科学，起于相似性直觉，但必须终于数学思考、数学推理.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习生活中经常使用的思维方式.”这就意味着相似性直觉猜想需要演绎推理来证明，演绎推理需要相似性直觉进行“探路”，二者相辅相成，缺一不可.如，该卷的第26题的问题（1）就是考查“相似性直觉→逻辑运演”的好问题.具体来说，该问题“原型”是从代数的角度验证“勾股定理”的实验载体（相似性直觉），历史上称之为“总统证法”.命题者从全等变换的角度，考查了学生的逻辑运演能力（见解法分析），包括学生的合情推理水平、合理联想能力，体现数学源于生活，高于实践的考查导向.问题（2）则较好地考查了学生的相似性直觉的理性成分，一方面是解答方法的继承性（全等变换），另一方面考查了学生的转化构造思想，即在一般四边形中构造出条件性直角梯形，将几何问题转化为代数问题.基于以上认识，可以说推理能力形成于数学课堂，延伸于课外，带有强烈的个性心理特征，应该是后续课堂教学的一个新走向.

2.3 创新考查“连续性直觉”，使得“数学建模”的考查目标真实落地

连续性直觉，就是在直觉思维的选择或参与下，猜想并解决系列问题、问题串或问题组块的一种心理倾向或心理过程，而且这一过程是基于已有经验的，并能体验从数学背景中抽象出数学问题、构造数学模型、寻求结果、解决问题的过程.如，第28题就是考查连续性直觉的一个经典样例.问题（1）考查了代数能力，问题（2）一方面考查了函数最值问题、另一方面考查了利用概念（直径是圆中最长的弦）进行直觉探路能力，问题（3）通过全等变换考查了割补法.其中，问题（1）为问题（2）的函数建模奠定了基础，问题（3）是问题（2）思维的延续与补偿，3个问题有序地考查了学生的建模、解模和用模的水平.这样的问题组块，井然有序、精致丰富，从不同角度考查了学生的系统思维和整体观念，是一道非常难得的好题，尽管没有“难倒一片”，却有极强的选拔功能，突出不同层面学生“有学上、上好学”的考查目标.

当然，考查连续性直觉不止于建模，更在于用模意识和释模态度.在布鲁姆看来，数学建模研究包括应用建模、理论建模、教育建模（教学建模与概念建模）、情境建模、社会文化建模、元认知建模[3].其中，教学建模强调在建模中发展学生的各种能力，概念建模则强调教学为概念学习服务，元认知建模更加关注学生在建模过程中的认知与情感的变化.如，第25题就是从连续性直觉维度考查学生的用模意识和释模态度，是考量学生思维品质的好题.具体来说，试题考查了二次函数概念体系、平行四边形的性质、对称变换和对称思想、常函数、坐标法、待定系数法、参数思想、换元、方程思想、数形结合思想、化归思想等连续性直觉.其中，常函数思想是“用好模”的关键，而“换元→因式分解”是转化的好路子，考查了学生对模型的合理解释能力，显化模型“结构稳定、字母可变”的一般化意义.3 教学启示

启示1 抽象、推理、建模是数学难考的源头，通过考查“关联直觉”的方式可以有效降低难度、凸显选拔功能，提高学生“用数学的眼光观察数学世界（抽象），用数学的思维思考现实世界（推理），用数学的语言表达数学世界（建模）”[4]的質量.

启示2 建模是联系数学的“两个面”，即现实的数学和抽象的形式化数学.在后续课堂教学中要强化表达世界的能力训练，突出“教好数学、学好数学、考好数学”的育人宗旨.

启示3 集约精致的试题备受欢迎，突出考试关怀和健康心理的养护，值得关注弘扬.

参考文献

[1]徐利治.数学方法论十二讲[M].大连：大连理工大学出版社，2012：251

[2]孙朝仁.数学实验：数学抽象素养形成的有效路径[J].数学通报，2019（02）：21-25

[3]黄健，鲁小莉，汪鸯雨，徐斌艳.20世纪以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展[J].数学教育学报，2019（03）：18-23

[4]史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）：35-37