深入挖掘 发展思维 提升素养

卢培 孔伟伟 郝四柱

摘要：尺规作图是初中平面知识的重要内容，近年来用“无刻度直尺”作图也是中考的热门考点.本文研究了用“无刻度”直尺作图问题，过圆内接正多边形顶点如何仅用直尺作圆的切线？通过构造中点，实现转化作平行四边形，获得了一个通解通法作法.

关键词：圆的内接正多边形、切线、作图.

最近我们在《等弧问题再探究》公开课的磨课过程中提出：能否仅用无刻度直尺过圆内接正八边形的顶点作圆的切线？研究发现仅用直尺可以作出它的切线;进一步思考发现过所有的正n边形的顶点都可以用直尺作出它的外接圆的切线.现把想法写出来，与大家共享.1 提出问题，探究证明

问题 仅用无刻度直尺过正八边形顶点作它的外接圆切线，并证明.

作图方法1：（如圖1）

①连接GB并延长交DC延长线于M;

②连接AM，直线AM即为所求.

证明 由正八边形知每一个内角为135°，易得∠BCM=45°，

在四边形AHGB中可得∠ABG=45°，所以∠CBG=90°.

易证△BCM为等腰直角三角形，可得AB=BC=BM，即∠BAM=∠BMA=22.5°.

连接AO，BO，得∠AOB=45°，易证∠OAB=67.5°，∠OAM=90°，

即OA⊥AM，故直线AM为⊙O的切线.

作法分析：在此作法中，学生采用假设法，假设切线的位置，通过图形的特殊性分析得到∠MAB=22.5°，即构造等腰△ABM，M点即为直线BG，CD的交点.

在此作法的基础上，有同学提出证明切线可以通过导角，也可以通过位置关系，由正八边形的对

称性可得OA⊥BH，那能否通过构造过点A且与BH平行的直线呢？在此学生想法的基础上，通过构造中点，证明平行四边形从而得到切线.

作图方法2：（如图2）

①延长BA，GH交于点I，连接OI交AH于点J;

②连接CH，BJ，并延长交于点K;

③连接KA，直线KA即为所求.

证明 连接OA，BH，由正八边形的对称性易证：OA⊥BH，AB∥CH，AJ=HJ.

由平行易得∠1=∠2，又∠3=∠4且AJ=HJ，易证△HJK≌△AJB（ASA），

即KH=AB且KH∥AB，易证四边形ABHK是平行四边形.

又OA⊥BH，所以OA⊥AK，故直线AK为⊙O的切线.

反思 圆内接正八边形可以利用其对称性采用方法2仅用直尺作出切线，而所有的圆内接正多边形均是轴对称图形，那么其它正n边形是否也能用第二种方法作出切线？下面将继续研究圆内接正n边形作切线的方法.2 深入探究，方法归一

由于正六边形的角度具有一定的特殊性，下面将先研究过圆内接正六边形顶点作切线的作法.

2.1 过圆内接正六边形顶点作切线

作图方法：（如图3）

①延长EF，BA交于点G，连OG交AF于点H;

②连接CF，BH并延长交于点I;

③连接AI，直线AI即为所求.

证明 连接OA，BF，由正六边形的轴对称性易得：OA⊥BF，AB∥CF，AH=HF.

证明方法同正八边形作图方法2得：四边形ABFI是平行四边形，

易证直线AI为⊙O的切线.

反思 正六边形与正八边形均是正偶数边形，完全可采取圆内接正八边形过顶点作切线的方法.有同学提出，正奇数边多边形也具有对称性，是否也能采取类似的方法？

下面研究圆内接正五边形和正七边形过顶点作切线的作图方法与证明.

2.2 过圆内接正五边形顶点作切线

作图方法：（如图4）

①延长DE，BA交于点G，连接OG交AE与点F;

②连接CE，BF并延长交于点H;

③连接HA，直线HA即为所求.

证明 连接OA，BE，由正五边形的轴对称性可得：OA⊥BE，AF=EF，AB∥CE.

证明方法同正八边形作图方法2得：四边形ABEH是平行四边形，

易证直线AH为⊙O的切线.

2.3 过圆内接正七边形顶点作切线

作图方法：（如图5）

①延长BA，FG交于点I，连接OI交AG于点H;

②连接BH，CG，并延长交于点J;

③连接JA，直线JA即为所求.

证明 连接OA，BG，由正七边形的对称性易证：OA⊥BG，AB∥CG，AH=GH.

证明方法同正八边形作图方法2得：四边形ABGJ是平行四边形.

易证直线AJ为⊙O的切线.

反思 通过探究发现圆内接正五边形和正七边形也能通过这种方法得到切线，猜想所有的圆内接正多边形均可以通过此方法获得圆的切线.在学生的不断尝试下，发现作圆内接正方形边的中点较复杂，而圆内接正三角形则可以转化为圆内接正六边形.下面将呈现这两种正多边形的特殊作法：

2.4 过圆内接等边三角形顶点作切线

作图方法：（如图6）

由于正六边形顶点间隔相连即可得等边三角形，那么过圆内接等边三角形

顶点作切线，只需将等边△ABC转化成图6所示的正六边形即可.

2.5 过圆内接正方形顶点作切线

这里的作法不同于上述的方法，并不是利用对称性得到AB边的中点，而是利用相似得到AB边的中点.

作图方法：（如图7）

①在⊙O外任取一点E，连接AE，BE分别交CD于点F，G;

②连接AG，BF交于点I;

③连接EI并延长交AB于点J;

④连接DJ交CB延长线于K;

⑤连接AK，直线AK即为所求.

证明 因为CD∥AB，所以△EFH∽△EAJ，△EHG∽△EJB，

所以FHAJ=EHEJ，HGBJ=EHEJ，所以FHAJ=GHBJ.

同理：△FHI∽△BJI，△GHI∽△AJI得：FHBJ=GHAJ，所以AJ=BJ，即J为AB中点.

易证四边形AKBD为平行四边形，从而得到直线AK为切线.

反思 正五边形的作法与上述略有不同，但找到一边中点后，仍然可以转化为证平行四边形得切线，由于正八边形的顶点隔点相连就可以变成正方形，所以正方形也可以转化为圆内接正八边形研究.

除了上述过圆内接正多边形顶点作切线的方法，猜想所有的正n边形（n≥5），均可采用正八边形的第二种方法得到切线，下面将给出作图方法.

2.6 过圆内接正n边形（n≥5）顶点作切线

构图：（以顶点A为例，只需要用到点A两侧的四条边，如图8）

①延长B′A′，BA交于点K，连接OK交AA′于点M，M即为AA′中点;

②连接BM，CA′（与AB平行），并延长交于点N;

③连接NA，直线NA即为所求.

证明 参考正八边形作图方法2的证法.

通过上述作法探究得到了过圆内接正n边形（n≥5）顶点作切线的通解通法，而且所有的正奇數边形均可以转化成正偶数边形来作图.

3 回顾反思，感悟提升

3.1 直尺的作用

尺规作图是常用的作图方法.圆规的作用是画任意圆（或弧）、截取任意长度，而“无刻度直尺”功能却只能用来连线.对于仅用直尺作图的问题，无刻度直尺作图解题步骤与尺规作图的思维方法一样：通过画假想图、分析、确定构图方法、完成构图.

罗增儒教授讲过：“没有理解的操作是傻练，越练越傻;没有操作的理解是空想，越想越空.”在教学中，找到切线之前，需要学生首先通过想象切线的大致位置，利用逻辑推理判断出切线与正多边形相关线段的位置关系，建构基本几何模型.

3.2 切线作法的有趣尝试

圆的切线问题是一个热门话题，过圆外一点作切线和过圆上一点作切线深受每一位老师关注.仅用直尺能够解决一些特殊图形的作图问题.本文中过正多边形的顶点作外接圆的切线问题是作图大家庭中一个有趣的问题.

3.3 感悟数学思想，提升学生核心素养

化归思想是数学的灵魂，能够完成从未知到已知、由繁到简、由难到易的转化.笔者发现直接作过圆内接等边三角形、正方形顶点的切线作法相对复杂，但是它们却可以转化为圆内接正六边形和圆内接正八边形研究，大大降低了难度.总之，

仅用无刻度的直尺作图，可以更好地体现出学生对于几何相关知识的综合运用能力，通过自己的实践操作，达到最终目的.在问题解决的过程中，提升学生的空间观念、几何想象、推理能力，发展直观想象和逻辑推理等核心素养.