关于树木生长方程平衡精度的研究

韩朝晖

（山东省国土空间数据遥控技术中心，山东 济南250014）

2010年以来，各种经验方程在林业科学实践中得到了广泛应用，巩延苹，张德全，矫兴杰等人先后利用经验方程对树木与降水量的关系、碳储量动态、树木成熟龄、光照对树木生长影响及生长因子剔除等进行了大量研究，取得了较好的效果[1-7]，但是至于试验精度的问题，一直是大家十分困惑的问题，下面就这一课题进行研究。

1 数据来源

数据资料来源于1983年至1986年进行的山东省国营林场森林经理调查的43个国有林场的解析木数据，包括侧柏、油松、赤松、落叶松、刺槐、白榆、麻栎、臭椿、旱柳、毛白杨、加拿大杨、I-69杨、加拿大杨、沙兰杨、泰青杨等黑杨一系列品种（品系），共482棵从4a至80a生的解析木材料(针叶树以2a、5a为龄阶，阔叶树以1a为龄阶），在2010年以5a为龄阶做了3棵黑松、2棵赤松、1棵黑赤松的40～68a生的解析木材料，在2014年做了18棵侧柏、8棵赤松、5棵黑松、3棵油松40～30a的以1a为龄阶的解析木材料。

2 研究方法

张德全等人曾经用经验方程对树木生长过程做过多次研究，用经验方程y=exp(a+bx）(其中y为树木的各种生长量指标，如树径、树高、材积等，为因变量，x为影响因变量变化的各项影响因子值，即时间、光照、气温、降水等，a，b为待求系数。由于本函数为成长函数，树木一般不会出现负增长，故b一般为正值研究树木生长快慢，及各项因子及其交互作用的影响程度，用经验方程y=exp(a-b／x）（方程中的符号含义同上一经验方程)来研究因变量的平均变化速度和即时变化速度，即x=b时，因变量平均变化速度最快，当x＝b／2时即时变化速度最快（通过对方程的一阶求导和二阶求导可得），用以追求效益最大化。经过多年大量研究发现，如果将这两个方程加以融合，不分树种、立地条件的差异，只要是起始年龄相同、时间因素对应的样本间隔一致或者是具有相同的倍数，再加上适当的系数调整，其实验精度能够达到完全一致，这就客观地提出了在何时试验精度最高的课题，笔者就这一课题进行研究。

先用经验方程y1=exp(a1+b1t）和y2=exp(a2-b2/t)(为了区别其间，在函数和待求系数加了下标）建立树木生长量与树木生长年龄的回归关系，求得待求系数 a1、b1、a2、b2，在这里 y1、y2为以时间t为自变量、树木实际生长量（实测值）为因变量而到的经验方程拟合值。

如果令 y3=exp(a3+b3t）和y4=exp(a4-b4/t)，y3、y4为对y1、y2而言，将上述的树木生长量（实测值）替换为y1^m×y2^n，其中m、n为小于的纯小数，满足m+n=1的条件，并且使得方程y3、y4的方程拟合精度完全相等，m、n用电子表格计算采用逐步接近的办法解决求算问题，笔者将求算精度定为10亿分之一，即1E-9。经过大量验算得出以下结论：不分树种、立地条件的差异，不分树木生长指标性质的不同（如树径、树高、材积等）只要是起始年龄相同、时间因素对应的样本间隔一致或者是具有相同的倍数，再加上适当的系数调整，y3、y4的方程拟合精度完全相等，笔者把这一精度定义为平衡精度，各龄阶平衡精度如表1所示。

3 研究结果与分析

表1的径阶起始年龄为0a,如果起始年龄增大，其平衡精度明显提高。从表1中可以看出，如果解析木的年龄是完整龄阶（即树木年龄能够被龄阶完全整除，否则就是不完整龄阶，下同），平衡精度从4龄阶开始，随着龄阶的升高，其平衡精度表现出逐步增加的态势，但26龄阶有所下降，27龄阶又略有上升，28龄阶达到最高值99.8285%（笔者的研究精度已达小数点后9位，即10亿分之1，为了大家易于辩别，并考虑到篇幅问题，文中只保留4位小数，下同），从29龄阶开始又有所下降，79-83龄阶出现稍微地异常波动，80龄级突然升高，81龄级降的比上下都低，82龄级以后又表现正常，100龄级又升的较高，以后又表现正常，但下降速度变的越来越缓慢，229龄阶降至低谷，为99.7979888%，以后又缓慢上升，至300龄阶达到99.7997428%，至于300龄阶以上的表现，只有等300a生以上的树木伐后进行解析木的处理，才能得出结论，这需要另立课题理行研究了。至于不完整龄阶，由于最后一个龄阶（即不完整龄阶）其数值对于年龄值来说更具有针对性，因此一般它的平衡精度均高于上下龄级的数值，不完整龄级的时间长度越短，它的平衡度就越高，但这只能是对于龄阶间隔时间为偶数年数的才有效，假如是奇数年数，则表现异常，这连同完整龄阶的平衡精度出的波动现象，都是由于本身生长特性所确定的，假若龄阶是偶数，对产生的试验噪声在龄阶内进行了一对一消化，而奇数年龄间隔的龄阶，就产生了更多的不确定性，产生了更多的试验噪声，因此在以后的科学研究中要尽量采用偶数年龄间隔区划龄阶，尽量规避奇数年龄间隔的龄阶，特别是传统的以5a为年龄间隔，对于搞统计分析是可以的，但是用来搞科学研究，应尽量规避。但是本试验平衡精度最高的是27.0909不完整龄阶，其试验精度达99.8301%，是由于树木年龄变化噪声消化的更好造成的。

表1 各龄阶平衡精度表

平衡精度 99.8295 99.8283 99.8294 99.8295 99.8284 99.8301 99.8295 99.8294龄阶 27.9 28 28.1 28.2 29 29.1 30 35平衡精度 99.8287 99.8285 99.8294 99.8293 99.8285 99.8290 99.8281 99.8271龄阶 40 45 55 57 61 63 65 66平衡精度 99.8260 99.8241 99.8219 99.8213 99.8205 99.8200 99.8194 99.8191龄阶 72 77 78 79 80 81 82 83平衡精度 99.8178 99.8166 99.8164 99.8142 99.8160 99.8106 99.8156 99.8154龄阶 90 98 99 100 101 102 103 106平衡精度 99.8140 99.8117 99.8122 99.8133 99.8118 99.8117 99.8114 99.8105龄阶 112 119 129 135 138 139 146 148平衡精度 99.8089 99.8072 99.8048 99.8041 99.8036 99.8035 99.8025 99.8022龄阶 155 158 159 161 172 210 219 220平衡精度 99.8014 99.8012 99.8010 99.8008 99.7998 99.7981 99.7980 99.7980龄阶 225 227 228 229 230 231 235 240平衡精度 99.7980 99.7980 99.7980 99.7980 99.7980 99.7980 99.7980 99.7980龄阶 249 250 266 278 288 300平衡精度 99.7982 99.7982 99.7985 99.7989 99.7992 99.7997

如果将树木生长量替换为y1^m/y2^n，建立y4=exp(a4+b4t）和y5=exp(a5-b5/t)的拟合经验方程，则y4和y5的方程拟合精度非常接近，理论上是一致的，由于计算是用试算的办法产生，牵扯到小数进位的问题，故出现了细微偏差，但试验精度大大降低，相关系数降低40%以上，这就从另一方面表明y1^m与y2^n具有同等重要的作用，即达到平衡状态，那么将系数指数m、n进行互换处理，将树木生长量替换为y1^n×y2^m则为树木生长的理想实际状态，再次建立树木生长拟合经验方程y6=exp(a6+b6t）和y7=exp(a7-b7/t)，即为树木生长的理想实际成长方程和生长阻力方程。

4 结论与讨论

对于经验方程 y=exp(a+bt）与y=exp(a-b／t）来说，对于完整龄阶，30个龄阶（即样本数）即达到最高精度要求，并非样本数（龄阶数量）越多，精度越高，这样利用数据的累加效应，现代计算机技术的应用，使得任意年龄作为龄阶年龄成为可能，可对解析木的总年龄先行进行预判，通过走访调查树木年龄，可以大大减少树木年轮判读工作量，起到事半功倍的作用。

经过研究发现，对于经验方程y=exp(a+bx)的演算，当x的所有数据同时加上或减去同一数值，试验结果只是a值变化，b值和用来检验的t值、F值、R值及试验精度保持不变，因此通过这一方程，来实现以往没有实际记载数据的重建成为可能，而保持现试验的精度不变。笔者分14个树种，分三个时间段的522棵解析木进行了分析研究，表现出了相同的规律性，进行了相互印证，此14个树种几乎涵盖了山东省的常见树种，分布范围广布山东各地，因此具有广泛的代表性和可推广性，因为在试验过程中，对所有解析木材料没有做任何剔除，从而证明基础试验数据是十分可靠和准确的。试验表明，只要是样本数目相同，并且是样本间对应的时间间隔一致，或者是时间间隔是固定的倍数，其平衡精度是完全一致的，这一结论可在全国乃至全球加以推广。研究表明不分树种，只要是起始树龄一样，树龄一致，或者是相同的倍数，其平衡精度是一致的，说明树木生长过程自始至终存在成长与衰老（阻力）的矛盾，正是这一矛盾的发生，才有树木的生长、成熟和衰老。本研究成果对于光照、气温、降水等生态因子对树木生长影响的研究具有借鉴意义，可另立课题进行研究。