掌握方法，三角恒等变换“任你行”

■夏晓静

对于三角恒等变换问题，掌握正确、合理的方法，巧妙地运用公式是解题的关键，只有这样，三角恒等变换才能“任你行”。

一、角的变换

例1已知α，β均为锐角，且，求sin(α-β)的值。

解：因为。由题设易得

解因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以，即ω=1。

评注：解题时，先用已知角或特殊角将所求角表示出来，然后利用已知条件及三角公式计算求解，但在求解过程中一定要注意角的取值范围。

二、函数名称的变换

例2若，则cos2α+2sin 2α=____。

解：因为，所以

评注：三角变换的关键在于消除差异，化异为同，当题目中出现不同名的三角函数时，就需要化异名函数为同名函数，变换的依据是同角三角函数的基本关系和诱导公式。

三、幂的变换

例3求函数f(x)=sin2x+2sinx·cosx+3 cos2x的最大值及相应的x值。

解：因为f(x)=1+2sinxcosx+2 cos2x=1+sin2x+1+cos 2x=sin2x+cos 2x+2=，则

评注：解题时，要认真分析题目的结构特点，通过降幂、升幂、常值代换等方法，为使用公式创造有利条件。

四、辅助角公式的应用

例4 已知函数f(x)=4 cosω x·的最小正周期为π。求ω的值。

评注：研究三角函数的性质，可利用三角恒等变换及辅助角公式，将所给三角函数化为y=Asin(ω x+φ)+k(ω＞0，A≠0)的形式，再根据函数的单调性求解。

五、公式的活用

例5求值：(1+tan 1°)(1+tan 2°)·…·(1+tan 44°)=____。

解：(1+tan 1°)(1+tan 44°)=1+(tan 1°+tan 44°)+tan 1°·tan 44°=1+tan(1°+44°)·(1-tan1°·tan 44°)+tan1°·tan44°=2。同理可得，(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…，(1+tan 22°)(1+tan23°)=2。故原式=2×22=44。

评注：常见的三角公式的变形有：sinα=tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)，2 tanα=tan2α·(1-tan2α)等。有时这些公式对解题起着重要作用，能达到化繁为简的目的，因此要有活用公式的意识。