平面向量的妙用赏析

■王雯茜

作者单位：湘潭大学数学与计算科学学院数学类韶峰班

向量作为联系代数与几何的纽带，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学的一个重要知识点。下面让我们来一睹平面向量在解题中的风采吧。

一、利用平面向量妙解平面几何问题

例1 在平行四边形A B C D中，已知A D=1，A B=2，对角线B D=2，求对角线A C的长。

解：设。由已知可得|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，则(a-b)2=|a-b|2=4，即a2-2a·b+b2=4，1-2a·b+4=4，所以a·。因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·，所以即对角线A C的长为

评析：本题依据向量加法运算的平行四边形法则和减法运算的三角形法则，把平行四边形的对角线的长转化为向量的模，再利用向量的运算法则求模长。

二、利用平面向量妙求函数的值域

例2 求函数的值域。则 函 数，其中

解：令向量a=(1，-1)，向量b=

向量b所对应的点位于第一象限或两坐标轴的正半轴上，且

评析：本题巧妙地将函数解析式转化为两个向量的数量积形式，进而再转化为关于向量夹角的三角函数的值域问题，值得注意的是这类问题中所构造的向量的的模必须是定值。

三、利用平面向量妙求函数的最值

例3 当x为何值时，函数y=有最小值，并求出这个最小值。

解：将原函数变形为，设向量m=(x-2，3)，n=(x-5，-1)，则，当且仅当m与n反向，即时取等号，所以当x=时，所求函数的最小值为5。

评析：本题先构造向量，再利用向量不等式求出函数的最值。向量不等式主要有以下四种：，当且仅当m与n同向时取等号；②，当且仅当m与n反向时取等号；，当且仅当m与n反向时取等号；④当且仅当m与n同向时取等号。

四、利用平面向量妙证不等式

例4 若正数a，b满足a+b=1，求证：

证明：构造向量m=(a，b)，n=(b，a)，则由，容易得到所以a2+，当a=b时取等号。故原命题成立。

评析：利用向量证明不等式的关键是构造适合题意的向量。