全国名校导数综合测试卷（B卷）答案与提示

1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.B 10.D 11.A 12.B 13.y=2x+1。 14.

①若a≥0,当0＜x＜1时,f'(x)＞0,f(x)单调递增;当x＞1时,f'(x)＜0,f(x)单调递减。所以x=1是f(x)的极大值点。

②若a＜0,由f'(x)=0,得x=1或x=因为x=1是f(x)的极大值点,所以,解得-1＜a＜0。

综合①②,a的取值范围是(-1,+∞)。

18.(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f'(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f'(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1。

(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g'(x)=

当1＜x＜e时,g'(x)＜0。

故g(x)在x=1处取得极大值,g(1)=m-1。

将x=40,y=500代入,得k=500e40。

故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y=500e40-x。

所以L(x)=(x-30-a)y=500(x-30-a)e40-x(35≤x≤41)。

(2)由(1)得,L'(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x(31+a-x)。

①当2≤a≤4时,L'(x)≤500e40-x(31+4-35)=0,当且仅当a=4,x=35 时取等号。

所以L(x)在[35,41]上单调递减。

因此,L(x)max=L(35)=500(5-a)e5。

②当4＜a≤5 时,L'(x)＞0⇔35≤x＜31+a,L'(x)＜0⇔31+a＜x≤41。

所以L(x)在[35,31+a)上单调递增,在[31+a,41]上单调递减。

因此,L(x)max=L(31+a)=500e9-a。

综上所述,当2≤a≤4时,每件产品的售价为35元,该产品一年的利润L(x)最大,最大利润为500(5-a)e5万元;

当4＜a≤5时,每件产品的售价为(31+a)元时,该产品一年的利润L(x)最大,最大利润为500e9-a万元。

20.(1)函数f(x)定义域为(0,+∞),

假设存在实数a,使f(x)在x=1 处取极值,则f'(1)=0,a=2。

此时,f'(x)=,当x＞0 时,f'(x)≥0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=1不是f(x)的极值点。

故不存在实数a,使得f(x)在x=1 处取得极值。

(2)由f(x0)≤g(x0),得：

(x0-lnx0)a≥x20-2x0。

记F(x)=x-lnx(x＞0),则F'(x)=

当0＜x＜1时,F'(x)＜0,单调递减;

当x＞1时,F'(x)＞0,单调递增。

因此,实数a的取值范围为[-1,+∞)。

①当a≤0 时,x＞0,ax-1＜0,在区间(0,2)上,f'(x)＞0,在区间(2,+∞)上f'(x)＜0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞)。

综上,a的取值范围为(ln 2-1,+∞)。

22.(1)a=1时,f(x)=(x2+x-1)ex,所以f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex。

曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f'(1)=4e。

又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0。

(2)f'(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)·ex=[ax2+(2a+1)x]ex。

(3)当a=-1时,f(x)=(-x2+x-1)·ex,由(2)知,f(x)=(-x2+x-1)ex在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减。

所以f(x)在x= -1 处取极小值,,在x=0处取极大值,f(0)=-1。

所以g(x)在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增。故g(x)在x=-1处取得极大值g(-1),在x=0处取得极小值g(0)=m。

因为函数f(x)与函数g(x)的图像有3个不同的交点,所以