浅谈一道椭圆离心率问题的多种解法

■河南省潢川县高级中学高三(15)班

对于一个数学问题,若能从不同角度多思多想,激活思维的源泉,往往能获得多种不同的解题途径。下面以一道椭圆离心率问题的求解为例加以说明,以供大家参考。

题目：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,求椭圆的离心率的取值范围。

方法一：利用曲线的范围建立不等关系求解

点评： 确定椭圆上点P(x,y)与a,b,c的等量关系,由椭圆的取值范围,即|x|≤a,|y|≤b,建立不等关系求解。

方法二：利用基本不等式建立不等关系求解

解：设|PF1|=m,|PF2|=n。在△PF1F2中,由勾股定理可知,4c2=m2+n2。因为m+n=2a,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn。4c2=4a2-2mn,即2mn=4a2-4c2。

点评： 根据已知条件建立两个方程,利用基本不等式建立a,c的齐次不等式,从而化为关于e的不等式求解。

方法三：利用线段长度的大小建立不等关系求解

解：已知椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c。因为∠F1PF2=90°,所以点P的轨迹为以原点为圆心,半径为c的圆。因为点P在椭圆上,所以c＞b,c2＞b2=a2-

点评： 找出本题的不等关系是解题的关键。在椭圆中线段长度的不等关系有：|PF1|+|PF2|≥2c。

方法四：利用角度长度的大小建立不等关系求解

解：设椭圆的短轴的一个端点为B,则∠F1BF2≥90°。在△BF1F2中,sin∠OBF2

点评：将数用形来体现,直接得到a,b,c的不等关系,这恰好是解决数学问题较好的一种方法,也是重要的解题途径之一。

方法五：利用判别式确定不等关系求解

解：设|PF1|=m,|PF2|=n。由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=m+n=2a,所以m2+n2+2mn=4a2。在△PF1F2中,由勾股定理可知,m2+n2=4c2,所以mn=2(a2-c2)。m,n是方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两个实根,Δ=4a2-8(a2-c2)≥0,2c2＞a2,e2

点评：根据题中条件隐含着的一元二次方程的存在性,利用判别式建立不等式关系,来求离心率的取值范围。

小结：这一道椭圆离心率取值范围求解的五种解法,很好地锻炼了同学们的思维,开拓了同学们的视野,提高了同学们的学习兴趣,培养同学们的创新精神和实践能力。