数学工具在高中物理运动学中的运用

■周建中

在高中物理运动学的学习中，物理量间的关系常用函数表达式展现，先将函数中的变量物理化，再结合函数的极值求解，将函数图像中的截距、斜率、与坐标围成的面积等数学量赋予物理意义，才能完成定量分析或对临界、极值问题的求解。学会运用数学工具能使物理情境更清晰，过程分析更简捷。

一、掌握常见运动图像中的含义

1.位移—时间(s-t)图像：反映的是运动物体的位置随时间的变化关系，位置的变化即位移。对于矢量问题，常选取一个正方向，与正方向相反的矢量表示为负值。因此在二维坐标中只能反映直线运动中的位移—时间关系。同理，二维坐标中的速度—时间图像、加速度—时间图像也只能反映直线运动中的规律。位移—时间图像的纵轴截距表示物体的初位置，某点切线斜率大小反映该点速度，若斜率为负值即速度方向为负方向。

2.速度—时间(v-t)图像：反映的是直线运动物体的速度随时间的变化规律，对于变速运动物体可根据图像清楚表述物体的速度变化。图像中某点切线斜率表示加速度，图像与坐标轴围成的面积表示在此段时间内的位移。若同一坐标中描绘出两个物体的运动图像，则可以比较出任一时刻两物体的速度大小，若已知初位置，也可判断出两物体间距的变化。

3.其他常见运动图像：加速度—时间(a-t)图像，反映加速度随时间的变化关系，与坐标轴围成的面积反映此段时间速度的变化量;匀变速直线运动的v2-s图像，为一条斜线，斜率k=2a。

二、数学工具在追及相遇问题中的运用

两个运动相结合构成的追及相遇问题属于运动学中的常见问题。求解此类问题，可以从物理角度出发，围绕速度相等这一临界条件建立位移关系，从而求解出相遇或避免撞击的条件;也可以从数学角度出发，根据位移差与时间的函数关系求解极值得出结果，运用数学方法的求解过程简洁明了。

例1一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时，汽车以3m/s的加速度开始行驶，恰在此时一辆自行车以6m/s的速度从后边赶来并匀速驶过路口。则汽车从路口启动后，在追上自行车前经多长时间两车相距最远?此时距离是多少?

解：(1)物理解析法。汽车启动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值，当汽车的速度小于自行车的速度时，两车的距离将越来越大，在汽车的速度增加到等于自行车的速度后，两车的距离将缩小，因此两车的速度相等时两车相距最远。有v汽=at=v自，解得t=，最大距离。

(2)数学极值法。设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远，则x=x自-。由二次函数求极值条件可知，当t=2s时，函数有极大值，即两者相距最远，最大距离xmax=6m。

图1

(3)图像法。作出自行车和汽车的v-t图像，如图1所示，图像与横轴所围的面积表示位移的大小。相遇前，两车的速度相等时，自行车的位移(矩形的面积)与汽车的位移(三角形的面积)之差达最大，所以。

三、数学工具在分析运动学图像时的应用

在运动学图像问题中，应先看清横轴、纵轴的物理意义，再结合数学规律寻求它们间的关系。如在位移—时间图像中，匀速直线运动为一条直线，纵轴截距表示起点位置，斜率表示速度;匀变速直线运动为抛物线，某处切线斜率表示速度。通过这些数学规律能简捷地找到未知物理量。

图2

例2A、B两物体沿同一方向运动，它们的v-t图像如图2所示，下列判断正确的是( )。

A.在t1时刻前，物体B始终在物体A的前面

B.在0～t1时间内，物体B的位移比物体A的位移大

C.在t1时刻前，物体B的速度始终比物体A的速度增加得快

D.在t1时刻两物体不可能相遇

解：由v-t图像与横轴围成的面积表示位移可知，0～t1时间内物体B的位移大于物体A的位移，选项B正确;因为不明确两物体的初始位置，所以不能确定两物体在运动过程中的位置关系，选项A、D错误;根据斜率表示加速度可知，物体B的加速度先大于物体A的加速度，后小于物体A的加速度，选项C错误。选B。

四、建立函数关系式求解问题

图3

在一些物理问题中，物理量的关系具有一定的隐蔽性和迷惑性，此时需通过数学工具寻求量值关系，函数关系明确后，物理规律便一目了然。

例3一个质点由静止开始沿直线运动，速度随位移变化的图像如图3所示，下列说法中正确的是( )。

A.质点做匀变速直线运动

B.质点做匀加速直线运动

C.质点做加速度逐渐减小的加速运动

D.质点做加速度逐渐增大的加速运动

解：设v与s满足关系式v=ks，则Δv=，即a=kv，结合质点的v-s图像可清晰得出质点的加速度不断增大。选D。

结语：在物理学习中学会灵活运用数学工具，将数学中的变量赋予物理含义显得尤为重要，在运动学中，利用函数极值、不等式的规律求解物理问题更是常见的方法。