例谈用导数解决几何中的优化问题

■邓礼伍

作为研究两个变量之间变化规律的有力工具，导数在解决几何背景下的优化问题方面有着广泛应用。利用导数解决这类问题，首先，作图并分析图形中的几何关系;其次，构建函数模型并表述出变量间具体的函数关系式;最后，利用导数性质求解相关问题。本文将结合实例介绍利用导数解决几何中的优化问题。

一、函数的单调性、最值与导数之间的关系

在区间(a，b)上，若函数y=f(x)满足f'(x)＞0，则函数y=f(x)在(a，b)上是增函数;若函数y=f(x)满足f'(x)＜0，则函数y=f(x)在(a，b)上是减函数。

若函数y=f(x)在(a，b]上是增函数，在(b，c)上是减函数，则函数y=f(x)在(a，c)上有最大值为f(b)。若函数y=f(x)在(a，b]上是减函数，在(b，c)上是增函数，则函数y=f(x)在(a，c)上有最小值为f(b)。

若函数y=f(x)在[a，b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a，b]上有最小值为f(a)，最大值为f(b);若函数y=f(x)在[a，b]上是减函数，则函数y=f(x)在[a，b]上有最大值为f(a)，最小值为f(b)。

二、求解函数最值的一般步骤

众所周知，用导数求解函数最值可以起到化繁为简的作用，大大节省时间。熟练运用导数求解函数问题是一种非常重要的解题技能。那么，导数求解函数最值又有哪些步骤呢?

第一步：确定定义域并求导函数y=f'(x)。

第二步：求解方程f'(x)=0。

第三步：求出函数y=f(x)在闭区间端点和使得f'(x)=0的点的函数值并比较大小，这些函数值中最大的为最大值，最小的则是最小值;倘若求函数在开(或半开半闭)区间上的最值，则需先讨论函数的单调性，再依据单调性求最值。

三、用导数解决几何中的优化问题

例1一个近似球形的玉石原料，半径为R，现要加工成内接正四棱锥形状的成品，则正四棱锥的高为多少时，所得成品的体积最大?

图1

解：如图1所示，易知当A，P两点分别位于O点两侧时，四棱锥的体积才可能达到最大。设球心到底面的距离OP=x(0≤x＜R)，则三棱锥的高AP=R+x。在Rt△OPH中，运用勾股定理可得。于是，可求出底面正方形HIJK的面积为2(R2-x2)。

设四棱锥A-HIJK的体积为V(x)，那么该四棱锥的体积函数为，求导可得V'(x)=-2x2-，令V'(x)=0，解得或x=-R(舍去)。当时，V'(x)＞0，V(x)为增函数;当时，V'(x)＜0，V(x)为减函数。故时，V(x)最大，即正四棱锥的高时，所得正四棱锥的体积最大。

评注：本题虽涉及几何知识，但本质上仍然是一个典型的函数优化问题。主要考查作图、几何图形的体积和面积公式、构建函数模型、表述函数关系式，以及运用导数处理函数最值等多个知识点和技能。类似地，也可以求解球内接正四棱柱的最大体积问题，详见例2。

例2(2006年江苏)请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图2所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大。

图2

解：设OO1为xm(1＜x＜4)，则由题意可得底面正六边形的半径为。由正六边形的性质可知，底面正六边形的边长为。因此，底面正六边形的面积(单位：m2)为。显然，帐篷的体积(单位：m3)等于上部的正六棱锥与下部的正六棱柱的体积和，因此V(x)=，求导可得令V'(x)=0，解得x=2或x=-2(舍去)。当1＜x＜2时，V'(x)＞0，V(x)为增函数;当2＜x＜4时，V'(x)＜0，V(x)为减函数。所以当x=2时，V(x)最大。故当帐篷的高OO1为2m时，帐篷的体积最大。

评注：找准几何图形中线段之间的数量关系是解决几何优化问题的前提。在此前提下，再利用导数即可快速解决问题。

四、结束语

结合文中的实例及平时遇到的类似问题，我们不难发现看似复杂的几何问题，实际上运用导数求解的过程却并不复杂。利用导数可以有效降低难度，简化运算，因此灵活运用导数这一有力工具处理最值、极值问题是相当高效的。