高中数学一题多解的重要性解析——以椭圆为例

■马林勇

题目椭圆的焦点是F1、F2，椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，下面结论正确的是( )。

A.P点有两个

B.P点有四个

C.P点不一定存在

D.P点一定不存在

解法一：根据圆的定理，即圆上任意一点与直径连接所夹的角都为直角，以F1F2为直径做圆，知圆的半径r=c=3＜4=b，因此圆与椭圆无交点。故选D。

解法二：应用三角函数中的正切值来判断角的大小。由题意知当P点在短轴端点处时∠F1PF2最大，设∠F1PF2=2α，则，所以此时∠F1PF2为锐角，与题设矛盾。故选D。

解法三：依据平面向量成直角时的两个向量相乘为0来判断是否为直角。设P(5Conθ，4 sinθ)，由PF1⊥PF2，知。而(5Conθ-3，4 sinθ)(5Conθ+3，4 sinθ)=25Con2θ-9+16 sin2θ=0⇒con2θ=无解。故选D。

解法四：将椭圆知识与三角函数知识相结合求解。设∠PF1F2=θ。假设PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|=6Conθ+6 sinθ=，而|PF1|+|PF2|=2a=10，即不可能成立。故选D。

解法五：运用三角函数中的余弦定理计算角的大小。

即∠F1PF2≠90°。所以PF1⊥PF2不存在，应选D。

解法六：运用勾股定理与焦半径定理相结合求解。设P(x0，y0)。由焦半径知。假设PF1⊥PF2，于是可得，所以。在椭圆中，|x0|≤5，而|x0|=，故假设不成立，故选D。

从这道例题就能充分看出一题多解的重要性，它是同学们学习数学时不可忽视的一个重要“武器”。

1.一题多解可以提高同学们的学习兴趣。数学各部分不是各自独立的，而是相互呼应的。同学们都有自己的强项和弱项，学习时可以充分利用自己掌握的知识去解决新问题，这样会增强同学们的自信心，慢慢将弱的环节也转变成自己擅长的模块。

2.不同的思考角度为同学们带来的是不断提高的思维能力及逻辑分析能力，有助于拓宽同学们的解题思路，培养同学们的数学核心素养。

3.将数学知识形成网络体系。这与同学们总结出的知识网不同，同学们通过一题多解锻炼出的解决综合问题的能力，是通过切身体会和理解形成的，而不是通过记忆去形成的。