导数压轴题——零点个数问题中应用零点定理的取值技巧

■王天一

近几年导数压轴题中常出现证明函数零点个数或已知零点个数求参数范围的问题。解答这类题的思路主要是结合函数的单调性，应用函数零点定理找出使函数出现正、负的函数值。其中找出符合零点定理成立的恰当数值是顺利攻克这类题的难点，下面通过高考经典试题例谈取值的两个技巧。

技巧一：简化运算，恰当取值

例题(2019年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f'(x)为f(x)的导数。证明：

(1)f(x)在区间内存在唯一极大值点;

(2)f(x)有且仅有两个零点。

证明：(1)略。

(2)若f(x)=sinx-ln(1+x)存在零点，需使sinx=ln(1+x)。又x∈(-1，+∞)，sinx∈[-1，1]，则ln(1+x)∈[-1，1]，解得，需证f(x)必须在区间上存在两个零点。

f'(x)=cosx-，由(1)及f'(0)=0，可得，可知f'(x)在区间上存在两个零点0和x0，其中。当时，f'(x)＜0，f(x)单调递减;当x∈(0，x0)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增;当x∈(x0，e-1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减。因为f(0)=0，又f(x0)＞0，f(e-1)=sin(e-1)-lne=sin(e-1)-1＜0，所以f(x)在区间(x0，e-1)内存在唯一零点。

由上述可知，f(x)有且仅有两个零点。

技巧二：合理待定，放缩估算

例题(2016年全国卷Ⅰ改编)已知a＞0，求证函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

证明：f'(x)=(x-1)(ex+2a)，当a＞0时，f(x)在区间(-∞，1)上递减，在区间(1，+∞)上递增，所以f(x)min=f(1)=-e＜0。由f(2)=a＞0，可知函数f(x)在区间(1，2)内有一个零点。观察可知f(0)＜0，当x→-∞时，f(x)→+∞，只需找到一值b，使f(b)＞0，即可证明函数f(x)有两个零点。下面运用待定系数且结合放缩法找到b的精确值。

由题意可知，需确定的b值比1小，越小越精确，则eb→0。当a＞0时，若存在正整数λ满足eb＜λa，利于计算，则有f(b)=(b-2)eb+a(b-1)2＞(b-2)λa+a(b-1)2=a[(b-1)2+λ(b-2)]。若(b-1)2+λ(b-2)＞0成立，观察可知当时满足题意。故取b＜0且时，有2)+a(b-1)2=，如图1所示。故函数f(x)在区间(b，1)和(1，2)内各有一个零点。

图1

总结：以上探究“取值点”的思维过程可以概括为设出“取值点”，运用分析法，列出不等关系，将超越不等式通过放缩转化为有理不等式，通过求解或赋值，来不断探寻式子成立的条件，直到找出合适的数值。