基于空间观念的变式教学

王明祥

[摘要]“空间观念”是一种对物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变化的直觉，这种直觉能让学生更好地认识和描述生活空间并进行交流。教师可将图形教学作为培养学生空间观念的一个落脚点，通过再现生活经验、观察感知、操作实践、发挥想象等手段，逐步培养学生的空间观念。

[关键词]空间观念;图形教学;圆柱;圆锥

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007—9068（2019）32—0020—02

一、缘起

所谓“空间观念”是指对物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变化的直觉，这种直觉能让人们更好地认识和描述生活空间并进行交流。正因为如此，发展学生的空间观念是课程标准中的一个重要目标，也是空间与图形教学的核心目标之一。因此，如何有效进行空间与图形的教学，培养学生的空间观念，便成了数学教师争相研究的课题。

二、思考

与其他教学内容相比，“空间与图形”具有很强的实践性、直观性和操作性，其不仅包括度量和相关的计算等内容，也包括直观感知、操作实践以及由此发展起来的几何直觉和空间观念等。

故而，笔者将图形教学作为培养学生空间观念的一个落脚点，通过再现生活经验、观察感知、操作实践、发挥想象等手段，逐步培养学生的空间观念。在此基础上，笔者做了一些深入的思考。

1.以上位图形知识指导低阶图形教学

数学知识一般都存在明显的阶段性，以上位图形知识指导低阶图形教学，能让学生更好地把握数学知识，也更有利于培养学生的空间观念。

2.加强实物与抽象图形之间的联系

空间观念的培养往往需要借助实物，并逐步去除实物的非本质属性，显现出其本质属性，这一过程就是我们所说的“抽象”。因此在图形教学中，教师可采取多种教学手段凸显抽象过程，从而加强实物与抽象图形之间的联系。

3.用运动的观点描述与归纳图形的特征

在图形教学中，可用运动的观点对图形的特征进行描述与归纳，把零碎的、静态的图形联系在一起，最终形成一连串动态演变的图景。从这个角度看，学生可更好地把握不同图形的特征，对于图形各自特征的同一性与差异性也会有更深刻的认识与理解。

三、探寻

基于上述思考，笔者以图形教学为切入点，选择一个全新的视角，打造一个不同的数学课堂。下面以苏教版教材六年级“圆柱和圆锥的認识”教学为例，谈谈笔者的一点探索与思考。

变式一：表象与抽象

【片段1】探究圆柱的特征

1.观察——直观感知

（1）观察交流一个圆柱形水杯：这个水杯是什么形状？它与长方体和正方体有什么不同？

（2）举例说明生活中还有哪些物体的形状是圆柱体。

（3）展示圆柱体模型。

2.操作——建立表象

（1）学生动手触摸圆柱体，并分组交流。

（2）师生交流讨论：

①看一看、摸一摸圆柱体模型，你能发现圆柱体有什么特征？

②用手摸摸圆柱体的这个面（指向曲面），有什么感觉？（引出圆柱的侧面）

③圆柱还有两个面，这两个面是什么形状的？（引出圆柱的底面）

④两个底面有什么关系？有什么方法可以验证它们是完全相同的？

3.想象——几何抽象

（1）学生想象圆柱体的形状，并在纸上画出来。

（2）交流展示，对比评价。

（3）师生归纳画圆柱体直观图的方法，课件展示圆柱体的直观图。

（4）学生上台指出圆柱体的各个部分。

【剖析】

1.建立表象：观察与操作

学生对于几何体的数学化认识，往往需要在具体实物的基础上建立表象，再将其抽象成数学化符号。因此，本环节在学生充分感知圆柱体的基础上，安排了“动手触摸圆柱体实物模型”的活动，引导学生触摸、交流、梳理，使学生深刻认识圆柱体的侧面和底面的特征，建立比较具体的圆柱体表象。

2.几何抽象：想象与画图

通过想象圆柱体的形状、画圆柱体的直观图、交流展示、对比评价、归纳圆柱体直观图的画法等活动，学生逐步深化对圆柱体特征的认识，进一步完善对圆柱体的抽象化认知。

变式二：求同与求异

【片段2】探究圆锥的特征

1.动画过渡

（1）互动交流：如果把圆柱上底面变小些，它还是圆柱吗？如果上底面不断变小，最终会变成什么？这时，圆柱变成了什么形状？（课件演示如下图所示的动画过程）

（2）观察圆锥的实物模型，并交流：大家在生活中见过哪些圆锥形状的物体？

（3）出示多个物体，让学生找出其中的圆柱和圆锥。

2.自主探究

（1）观察圆锥模型，指出圆锥的顶点、底面、侧面。

（2）观察圆锥直观图，并交流：圆锥的高在哪里？什么是圆锥的高？它的高指的是从哪里到哪里的距离？你能找到几条高？（揭示：顶点到底面的距离就是圆锥的高，圆锥只有一条高）

3.对比归纳

（1）对比交流：圆柱和圆锥虽有一定的联系，但它们又是不同的，它们有哪些不同的特征呢？

（2）归纳汇总：填表归纳圆柱和圆锥的特征。（如下表）

【剖析】

1.求同：动画过渡

为了凸显圆锥和圆柱之间的联系，本环节利用动画演示——将圆柱上底面逐渐变小，最终变为一个点，这样就形成一个圆锥，让学生熟悉了圆锥的几何形态之后，再通过观察圆锥的实物模型、列举生活中的圆锥实例、挑选圆柱和圆锥等活动，帮助学生建立圆锥实物的认知基础，丰富学生对圆锥表象的认知，同时为学生探究圆锥的特征做好铺垫。

2.求异：对比归纳

在探究圆锥特征的过程中已充分凸显了圆锥和圆柱的联系，但从辩证的角度出发，还需对比两者的区别，才能反映事物的完整性。因此，待学生认识了圆柱和圆锥之后，应引导他们对两者的多重几何属性进行比较，由此认识两者在顶点、底面、侧面、高等方面存在的异同点，从而使学生对圆柱和圆锥特征的认识进一步深化。

变式三：角度与深度

【片段3】再探圆柱和圆锥

1.追寻——圆柱与圆锥的形成

（1）提问：圆柱和圆锥，是怎样形成的？

（2）播放一个长方形旋转成圆柱的动画，交流：圆锥又是怎样形成的？

（3）操作：拿出桌上的长方形和三角形纸片，换个旋转轴重新旋转它们，看看是否还能得到圆柱和圆锥？如果能，还是刚才的那个圆柱和圆锥吗？

2.拓展——旋转体的形成

（1）对旋转体的本质进行总结。

（2）展示多种精美、复杂的旋转体的形成过程，并以此作为本节课的结尾。

【剖析】

1.角度：追寻——圆柱和圆锥的形成

2.深度：拓展——旋转体的形成

本环节主要从圆柱和圆锥的形成角度出发，通过一系列的操作与想象，拓展了学生的思维广度，提高了学生的空间想象能力，进一步加深了学生对圆柱和圆锥的认识与理解，进而启发学生对旋转体本质的深层次领悟。

上述教学案例重点突出一个“变”字，在探究圆柱的特征时，不断改变圆柱的非本质属性，让学生初步形成对圆柱的表象认识，并一步步抽象出圆柱的本质属性，完成对圆柱特征的全面认识。在探究圆锥的特征时，则打破从实物认知出发的习惯，直接由圆柱直观图动态演变成圆锥直观图，让学生从一个全新的角度认识圆柱和圆锥的同一性。在拓展探究过程中，巧妙运用“面动成体”的动态演示将二维平面图形与三维立体图形紧密联系，极大地提升了学生的空间想象能力。

综上所述，以图形教学为落脚点，通过再现生活经验、观察感知、操作实践、发挥想象等手段，可很好地培养学生的空间观念。

（责编 黄春香）