翻转课堂在线性代数教学中的应用探究

黄莉，吴纯

（武汉商学院信息工程学院，湖北武汉 430056）

1 翻转课堂模式对线性代数教学的意义

“翻转课堂”（Flipped Classroom），源于2007年一位美国教师通过课后发送教学视频给缺课学生补课，课上再辅导答疑的形式。这种全新的教学模式将课内和课外的学习方式进行了重整，将学习的决定权从教师手上转交给学生。在翻转课堂模式下，能让学生的学习方式更加灵活，更多关注于基于任务的专业学习，课堂中教师和学生能进行更多的互动，学生对学习有主动权，更愿意参与到课堂中来。因此翻转课堂模式在世界各地都得到大大的推广，从小学到大学，甚至是学前教育领域都有其应用，尤其把这种模式应用到大学数学课堂中，让我们的传统数学课堂别开生面。

目前在线性代数的教学中存在着教学效果差、学生参与度低、学情复杂等问题。特别是这门课，学时较少，概念抽象，解题技巧灵活多变，学生兴趣低、掌握程度差，要想有效提高线性代数课堂的教学质量，就需要从根本上对现有的教学模式进行改革和创新。而翻转课堂模式恰恰能够在最大程度上激发学生的学习兴趣、促进学生积极主动地学习。与此同时，教师在翻转课堂模式下实现了教学改革、提升了教学质量、促进了师生良性互动、营造了良好的课堂氛围，并能实现课堂理论与实践教学的有机结合。

2 线性代数教学中翻转课堂模式的设计

2.1 课前的翻转模式

在做课前的翻转课堂模式设计时，教师需要在最初对课程做好整体规划，明确每一次翻转课堂的教学目标、教学重难点。根据教学内容的特点，可以借助微课、短视频、网上教学资源平台等等帮助学生在课前自主进行重点知识的学习，让学生带着任务和问题去预习，明确课堂的基本流程和教学内容。特别要指出的是，课前的翻转模式，不受时间和空间的限制，能最大限度地利用碎片化时间去学习。

比如，矩阵的运算这一章，内容很多，在课堂上完成全部教学是比较困难的，但前面一部分内容比较简单，学生通过自主学习完全可以掌握，那么教师只需课前布置教学任务，让学生在课前掌握。比如，通过描绘出知识框架图来让学生明确矩阵包括哪几种运算，观看教学平台（例如MOOC 和SPOC）的短视频，并要求学生记录自己学习过程中的困惑。学习之后让学生思考：矩阵的运算与数的运算之间有哪些相同和不同之处，学生可以分小组讨论并记录，那么课堂上教师只需要花一点时间对这部分问题做出解答即可。而对于比较困难的部分，教师可以将学习困难的部分作为教学的主要引导问题，比如矩阵的逆运算这一节，课前教师提出问题：矩阵的逆运算可否借鉴数的逆，同时它应满足什么条件呢？ 让学生从熟知的问题出发，带着问题去预习和思考，鼓励学生自己通过各种渠道尝试解决，并积极搜集相关素材和资料为课堂中的翻转做好充分准备。

2.2 课堂中的翻转模式

在课堂中进行翻转，常常需要教师做好全局把控，在教学引导的过程中能抛出有针对性和启发性的教学问题，并组织好学生进行分组讨论。每个讨论小组最好由5～8 名同学组成，不必设小组长。教师在此过程中旁听，在评估了学生课前学习的学习水平之后，做好进一步的教学引导，观察学生遇到的困难，然后有针对性的帮助学生。整个讨论过程中尽量让学生自主进行，强调学生的独立思考，根据个人理解形成自己的观点，最好能自己提出问题，并记录下来，这样能很好地内化所学知识。

当所有学生以小组的形式展开教学讨论时，我们的课堂就真正由学生主导。教师应鼓励学生自由阐述观点，学生之间的观点可以相互碰撞和启发，同时小组成员之间的交流也可以培养团队的合作精神。在讨论过程中，教师要掌握各小组探究的动态，及时总结每个小组讨论后的结论和共同的困惑，与同学们进行充分的对话后，寻根溯源，化解难点，也可以给出适当的提示让各小组之间继续进行探讨，再次内化学习。

同时借助这种探讨的模式，可以解决线性代数中某些教学内容从抽象到具体或者从具体到抽象的矛盾。对于一些比较抽象的概念性知识点，学生难以直接理解。这时需要教师善于在生活中找到这样的数学模型，从学生熟悉的实际问题为切入点，提出问题，甚至也可以使学生自己发现问题并尝试自己探索解决问题，教师引导学生将问题与理论和概念相结合，并使其抛去实际背景而抽象出精准的理解数学概念，学生就能很好理解了。也可以鼓励学生把自己对数学概念的理解表达出来，在表达过程中可加深对数学概念的理解和对数学语言的精确使用，进一步内化学习。

比如向量的线性相关和线性无关，这两个概念很抽象，学生初学时很难理解，教师可以利用学生熟知的解析几何中平面上的两个向量的位置关系引入，通过讨论找到两向量共线的充要条件，发现线性相关的本质，然后在此基础上去推广出n 维向量组线性相关的概念，从而准确地掌握这个抽象的概念。又比如线性相关性这一节中有很多理论比较难理解和记忆，我们也可以借助生活中的具体例子来帮助学生理解。对于“低维无关则高维无关，高维相关则低维相关”，我们可以这样来具化：若一群人中没有人互相认识（即线性无关），则每个人都踩上高跷之后还是没有人互相认识；若踩上高跷的一群人中有人互相认识（即线性相关），则卸下高跷后还是有人互相认识。在学生理解之后也可以鼓励学生自己从其他角度来阐述。

因此在翻转课堂模式下，教师不再是唯一主角，教师与学生之间有了更多的交流和对话，学生对教学活动有了更多的掌控，学习的热情将被极大的激发，学习效率更高。

3 课后的翻转模式

在每一节课的最后，教师要抽出几分钟时间来对整个教学内容进行强化和巩固，这就需要教师能对教学成果做出合理的评估。教师可以根据学生知识掌握的反馈情况来对课堂学习进行归纳总结。如果学生对翻转课堂的反馈很好，总结也可以由学生课后去完成，比如线性相关性这一块内容，如果学生在课堂上的翻转情况较好，教师可以提出问题：判断向量组的相性相关性可以从哪几个方面入手？ 那么课后学生通过解决这个问题可以把向量的线性相关性理论、 方程组解的理论以及矩阵秩的理论都结合起来，这样对前后知识点的联系将有更深刻的认识。如果教师需要当时做出总结，教师就可以在总结之后，根据下堂课的教学内容来进行教学任务的设计，引出新的学习内容。例如，一个线性相关的向量组，总可以找到一个部分向量组线性无关，那么这个部分的线性无关的向量组是否唯一，它所包含的线性无关的向量个数是否存在最多的情况？ 从而引出下节课的内容——极大无关向量组。

在课后，学生也可以根据自己掌握的情况，自行查缺补漏，自主规划学习内容和学习节奏，为下一次翻转课堂做准备。

4 翻转课堂模式引入线性代数教学中要注意的几个问题

4.1 翻转课堂如何与传统课堂有机结合

在翻转课堂的模式下，我们的线性代数课堂上也采用了全新的教学模式改革，全面地提高了学生的自主学习能力和探究创新能力。但是我们也不能完全摒弃传统的教学模式，要根据知识内容的特点来采取适当的结合，对于简单的知识点，可以完全采用翻转课堂，而对于学生难以自行掌握的内容，则需要翻转课堂和传统课堂按一定比例结合，例如可以考虑对分模式，一半传统讲授一半探究讨论，只有这样才能事半功倍地提高教学质量。

4.2 翻转课堂切忌形式化，如何落到实处

我们在应用翻转课堂模式时，绝不可以仅仅是为了翻转的形式而翻转，否则我们谈翻转课堂就是一个噱头，没有任何实际意义。数学是有着具体的研究对象的一门学科，因此我们翻转课堂的应用也必须是以具体教学内容为载体的，教学内容最好能细化成若干知识点。特别是线性代数中的概念和知识点较多，因此我们在一次翻转课堂中，切忌不可贪多，要突出重点，绝不要在一次讨论中加入过多知识点，最好每一次讨论具体针对一个问题来展开。并且翻转课堂的引入是一个循序渐进的过程，无论是对于教师还是学生而言，它都是一个需要慢慢积累和不断摸索的过程，所以我们需要在教学中适时调整。

4.3 翻转课堂模式下的评价机制如何积极创新？

翻转课堂模式下，评估是一个很重要的环节，我们要强调过程性的评估，提高学生参与翻转课堂的积极性，只有学生自觉自愿地加入翻转课堂，我们才能达到预期的教学效果。因此对于学生的作业（比如常规性的作业、反思性的作业、读书笔记等），教师批改的态度应是以鼓励为主，不过多强调对错，多强调独立性的思考，鼓励创新，这其实是给学生一个重要的导向——鼓励真实、尊重接纳。这样我们的翻转课堂才能取得真实有效的效果。

5 结语

翻转课堂的出现，使得我们的传统课堂模式受到了巨大的冲击，从教师的教学方式、学生的学习方式、课程的管理模式、 教学的评价体系等等都发生了一系列的巨大变革。实践表明，在线性代数的教学中引入翻转课堂，学生的学习兴趣和学习的积极主动性都大大提高，对师生双方都是一个良性的促动。线性代数变得不再那么枯燥，课堂氛围变得更加活跃了，学生们也真正理解了数学思想，应用数学去分析问题和解决问题的能力也有了进一步的提高。

当然，翻转课堂的模式不是一成不变的，对于不同的课程、 不同专业的学生，我们都需要做出相应的调整，并且在具体的教学实践中我们将会面临许多无法预料的问题和困难，这都需要我们在教学过程中进行不断的探究和进一步的完善。