一类函数导数问题的构造策略探究

蔡振树

【摘要】导数是高中数学学习的一个重要组成部分，是研究函数、方程、不等式等问题的有力工具.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，会涉及函数与方程、分类讨论、化归与转化、有限与无限等重要数学思想和分析法、综合法、换元法、构造法等常用数学方法.是考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养的重要载体.

【关键词】函数;突破策略;核心素养

【基金项目】本文是福建省“十三五”中学名师培养人选立项课题《基于核心素养下的差异数学实践研究》（课题编号：13MS009）的研究成果之一.

一、高考试题中利用导数研究函数性质的作用

有关函数的压轴题，多涉及以ex，lnx为背景的一些恒等式、不等式等问题，这需要以导数为工具来解决，这也是涉及函数导数试题命制的热点和难点.

例如，2018年高考（Ⅰ）卷第16题：已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.利用导数研究函数最值，实际是研究单调性，进而得到最值.

2018年高考（Ⅰ）卷第21题：已知函数f（x）=1x-x+alnx.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明f（x1）-f（x2）x1-x2

纵观历年高考试题，函数中的双变量问题是一直是高考试卷中的“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系到的知识面较广，技巧性强，构造思维和推理能力要求较高，因此，这类试题往往被设置成高考的压轴试题.解决这类问题的方法也是多种多样的，有必要针对具体问题具体分析，但实际上解决这类问题也有规律可循，要依据试题题设和待求问题的结构特点、内在联系选择适当的解决方法，关键在于构造出适当的函数，把双变量问题转化为单变量问题，进而利用导数研究该函数的性质来求解.

二、构造函数利用导数突破的三种策略

突破策略1：单调性法.利用结构，变量对称轮换，构造单调函数.

压轴题中经常出现一类以不等式为背景考查函数单调性的定义、应用导数求解函数单调性的问题.此类问题设计新颖，既考查函数单调性的定义，又考查导数的应用，是两个知识点的交汇融合;既考查函数方程的思想，又考查转化化归的思想，是数学思想方法的应用提升，可谓一举多得.求解此类问题时，一定要进行合理的转化化归，把问题转化为比较两个函数值的大小问题，再转化为函數的单调性问题，最后利用导数进行突围，使问题得以求解.

例1 已知函数f（x）=12x2-2alnx+（a-2）x，a∈R.

（1）当a=1时，求函数f（x）图像在点（1，f（1））处的切线方程;

（2）当a<0时，讨论函数f（x）的单调性;

（3）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有f（x2）-f（x1）x2-x1>a恒成立？若存在，求出a的取值范围;若不存在，说明理由.

分析与解 （1）（2）略.

（3）题干所给的条件中含有x1，x2两个变量，同时具有轮换对称的特征，因此，考虑进行变量分离，等式的特征转化为“比较两函数值大小的问题”，进而把问题转化为“函数的单调性问题”，最后应用导数进行求解.

为了把f（x2）-f（x1）x2-x1>a的分母进行移项.不妨设x10，

由f（x2）-f（x1）x2-x1>a可知，f（x2）-ax2>f（x1）-ax1在区间（0，+∞）上恒成立.

构造函数g（x）=f（x）-ax（x>0），则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增.

下面应用导数进行求解.

g（x）=12x2-2alnx-2x（x>0），

g′（x）=x-2ax-2（x>0）.

由g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，得2a≤x2-2x在（0，+∞）上恒成立.

令φ（x）=x2-2x=（x-1）2-1（x>0），

所以当x=1时，φ（x）取得最小值-1.

故2a≤-1，a≤-12.故存在这样的实数a满足题意，其范围为-∞，-12.

突破策略2：主元法.把一个变量当成定值，构造成另一个变量的函数来研究，属于通性通法.比起对结构要求高的题型来讲，更具一般性.

函数中的双变量问题是近年高考试卷中的“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系到的知识面较广，技巧性强，构造思维能力要求较高，是多个知识点的交汇融合;既考查函数方程的思想，又考查化归转化的思想，是数学思想方法的应用提升，是落实数学核心素养的重要载体.

这类以指数型（对数型）函数为背景的导数、不等式交汇的试题时，我们观察到，不等式含有双元变量x1，x2，当x1=x2时，原不等式一端分式为00型，或0=0或左端=右端等形式.此时，可以将其中一个变量x1当成定值，另一个x2作为变量构造一端为零的不等式，从而实现减元.令x=x2，构造函数g（x），利用导数求解g（x）的最值，从而证明求解.

在求解一类以指数型（对数型）函数为背景的导数、不等式交汇的试题时，我们观察到，不等式含有双元变量x1，x2，通过等价转化后可以构造差值x1-x2（或比值x1x2）而后进行换元（令t=x1-x2或t=x1x2），从而实现减元，进而把问题转化为关于t的问题，然后通过构造关于t的函数，以导数为工具进行证明求解.

三、立足差异关注核心素养落地的重要载体

注重应试实战与数学素养的培育，利用函数导数作为载体，掌握构造函数的几种策略，不仅帮助学优生突破解高考的压轴题瓶颈问题，还可以为中等生增加有效解题步骤分，有利于提高高考的应试成绩.同时，更能关注到学生数学素养的培养，如对分析问题、解决问题的能力的培养，是提升数学建模、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的有力实践.这需要我们正视学生学习差异，确实落实核心素养，实践差异数学.

构造函数解决一类双元变量问题的策略，题型特征明显，易于观察，解法规律性强，简单易操作，适用范围较广，能让不同学习层次的学生得到不同的发展，更好地体现差异数学，能让学生体会知识学会识别题型、掌握解题规律，又能让学生灵活迁移应用.构造函数的策略既能让学生感受知识发生、发展的过程，又能让学生从中领悟数学本质，提升数学素养，具有十分重要的意义.

【参考文献】

[1]宿晶.构造函数在解决导数问题中的运用策略和技巧[J].数理化解题研究，2016（16）：15-17.

[2]万兆峰，贾奉美.构造辅助函数，解决一类导数问题[J].数学教学通讯：中学生版高三卷，2005（2）：85-87.